Номер 12, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 12, страница 95.

Условие.

9.12. Через вершину $B$ ромба $ABCD$ проведена прямая $BE$, перпендикулярная плоскости ромба (рис. 9.22). Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$.

Рис. 9.22

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$, необходимо доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости $BEO$ выберем прямые $BE$ и $BO$, которые пересекаются в точке $B$.

1. По условию задачи, прямая $BE$ перпендикулярна плоскости ромба $ABCD$. Прямая $AC$ является диагональю ромба и, следовательно, лежит в плоскости $ABCD$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $AC \perp BE$.

2. Фигура $ABCD$ является ромбом. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба $ABCD$ — это $AC$ и $BD$. Следовательно, $AC \perp BD$. Прямая $BO$ является частью диагонали $BD$ (так как $O$ — точка пересечения диагоналей), поэтому прямая $AC$ перпендикулярна и прямой $BO$. То есть, $AC \perp BO$.

3. Мы доказали, что прямая $AC$ перпендикулярна двум прямым — $BE$ и $BO$. Обе эти прямые лежат в плоскости $BEO$ и пересекаются в точке $B$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$.