Номер 17, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17, страница 96.

Условие.

9.17. Через вершины $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведены прямые $AE$ и $BF$, перпендикулярные плоскости трапеции (рис. 9.25). Каково взаимное расположение плоскостей $EAD$ и $FBC$?

Рис. 9.25

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Также по условию, прямые $AE$ и $BF$ перпендикулярны плоскости трапеции $(ABCD)$. По свойству двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны друг другу: $AE \parallel BF$.

Рассмотрим плоскости $(EAD)$ и $(FBC)$.

Плоскость $(EAD)$ проходит через две пересекающиеся прямые $AE$ и $AD$ (они пересекаются в точке $A$).

Плоскость $(FBC)$ проходит через две пересекающиеся прямые $BF$ и $BC$ (они пересекаются в точке $B$).

Мы установили, что:

• $AD \parallel BC$
• $AE \parallel BF$

Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AE$ и $AD$) в плоскости $(EAD)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($BF$ и $BC$) в плоскости $(FBC)$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Следовательно, плоскость $(EAD)$ параллельна плоскости $(FBC)$.

Ответ: Плоскости $EAD$ и $FBC$ параллельны.