Номер 16, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16, страница 96.

Условие.

9.16. Через вершины $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены прямые $AM$ и $DK$, перпендикулярные плоскости параллелограмма (рис. 9.24). Докажите, что плоскости $MAB$ и $KDC$ параллельны.

Рис. 9.24

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что плоскости $MAB$ и $KDC$ параллельны, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим прямые $AM$ и $DK$. По условию задачи, обе эти прямые перпендикулярны плоскости параллелограмма $ABCD$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны между собой. Таким образом, $AM \parallel DK$.

2. Рассмотрим прямые $AB$ и $DC$. По условию, фигура $ABCD$ является параллелограммом. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel DC$.

3. Плоскость $MAB$ проходит через две прямые $AM$ и $AB$, которые пересекаются в точке $A$. Плоскость $KDC$ проходит через две прямые $DK$ и $DC$, которые пересекаются в точке $D$.

Мы установили, что две пересекающиеся прямые ($AM$ и $AB$) плоскости $MAB$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($DK$ и $DC$) плоскости $KDC$. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $MAB$ параллельна плоскости $KDC$.

Ответ: Доказано, что плоскости $MAB$ и $KDC$ параллельны.