Номер 8, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 95.

Условие.

9.8. Через центр $O$ правильного треугольника $ABC$ проведена прямая $DO$, перпендикулярная плоскости $ABC$ (рис. 9.18). Найдите отрезок $DO$, если $AB = 6$ см, $DA = 4$ см.

Рис. 9.18

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, прямая $DO$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что прямая $DO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, отрезок $DO$ перпендикулярен отрезку $AO$. Таким образом, треугольник $DOA$ является прямоугольным, где $\angle DOA = 90^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $DOA$ по теореме Пифагора мы можем выразить искомый отрезок $DO$:
$DA^2 = DO^2 + AO^2$
$DO^2 = DA^2 - AO^2$
$DO = \sqrt{DA^2 - AO^2}$

Нам дана длина отрезка $DA = 4$ см. Чтобы найти $DO$, нам нужно сначала вычислить длину отрезка $AO$.

Треугольник $ABC$ — правильный (равносторонний), а точка $O$ — его центр. В правильном треугольнике центр является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот, а также центром описанной и вписанной окружностей. Отрезок $AO$ является радиусом $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ находится по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию, сторона треугольника $a = AB = 6$ см. Найдем длину $AO$:
$AO = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная $DA$ и $AO$, мы можем найти $DO$:
$DO = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - (4 \cdot 3)} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.