Номер 6, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 94.

Условие.

9.6. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна:

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Если прямые, которым перпендикулярна данная прямая, параллельны, то нельзя сделать однозначный вывод о перпендикулярности прямой и плоскости.

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;
Рассмотрим произвольный треугольник. Сторона треугольника и его медиана всегда являются пересекающимися прямыми. Они могут пересекаться в вершине треугольника (если медиана проведена из конца рассматриваемой стороны) или в точке на стороне (если медиана проведена к этой стороне). Так как сторона и медиана всегда пересекаются, то прямая, перпендикулярная им обеим, будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости треугольника. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, такая прямая будет перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;
Средняя линия треугольника по определению соединяет середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне этого треугольника. Следовательно, можно выбрать сторону и среднюю линию, которые будут параллельны друг другу. Если прямая перпендикулярна двум параллельным прямым, лежащим в плоскости, из этого не следует, что она перпендикулярна самой плоскости. Например, в плоскости $Oxy$ прямые $y=0$ и $y=1$ параллельны. Ось $Oy$ перпендикулярна обеим этим прямым, но она лежит в плоскости $Oxy$, а не перпендикулярна ей. Таким образом, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие – нет (боковые стороны, если трапеция не является параллелограммом). Если выбрать в качестве двух сторон основания трапеции, то они будут параллельны. Как и в предыдущем пункте, перпендикулярность прямой двум параллельным прямым не гарантирует ее перпендикулярности плоскости, в которой они лежат. Так как существует случай, когда утверждение не выполняется, оно считается неверным.
Ответ: Неверно.

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;
Любые два диаметра одной окружности обязательно пересекаются в ее центре. Таким образом, два диаметра всегда являются двумя пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости окружности. Если прямая перпендикулярна двум диаметрам, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, эта прямая перпендикулярна плоскости окружности. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?
В правильном шестиугольнике можно выбрать как пересекающиеся, так и параллельные диагонали. Например, главные диагонали (соединяющие противоположные вершины) пересекаются в центре шестиугольника. Однако существуют и пары параллельных диагоналей. Например, в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $AC$ параллельна диагонали $FD$. Если прямая перпендикулярна этим двум параллельным диагоналям, это не означает, что она перпендикулярна плоскости шестиугольника (по той же причине, что и в пунктах 2 и 3). Следовательно, утверждение в общем случае неверно.
Ответ: Неверно.