Номер 3, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 94.

Условие.

9.3. Верно ли утверждение, что если прямая не перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, данное утверждение неверно.

Прямая, которая не перпендикулярна плоскости, может быть перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Это можно доказать с помощью теоремы о трёх перпендикулярах или показать на конкретном примере.

1. Доказательство от противного с использованием определения.

Определение: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Утверждение в задаче: "Если прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости".

Рассмотрим обратное утверждение (контрапозицию): "Если прямая $a$ перпендикулярна хотя бы одной прямой $b$ в плоскости $\alpha$, то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$". Это утверждение очевидно ложно, так как для перпендикулярности прямой и плоскости требуется, чтобы прямая была перпендикулярна как минимум двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Следовательно, исходное утверждение также является ложным.

2. Доказательство с помощью теоремы о трёх перпендикулярах.

Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ и не перпендикулярна ей (такая прямая называется наклонной). Пусть $a'$ — ортогональная проекция прямой $a$ на плоскость $\alpha$. Так как $a$ не перпендикулярна $\alpha$, её проекция $a'$ является прямой, а не точкой. В плоскости $\alpha$ мы всегда можем построить прямую $b$, перпендикулярную прямой $a'$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если прямая ($b$), лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной ($a'$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($a$).

Таким образом, для любой наклонной $a$ к плоскости $\alpha$ существует прямая $b$ в этой плоскости, для которой выполняется условие $a \perp b$. Это прямо опровергает исходное утверждение.

3. Пример.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

• В качестве плоскости $\alpha$ возьмём плоскость нижнего основания $(ABC)$.
• В качестве прямой $a$ возьмём диагональ боковой грани $A_1B$.

Прямая $A_1B$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$, так как она не перпендикулярна, например, прямой $AB$ (угол $\angle A_1BA = 45^\circ$).

Теперь рассмотрим прямую $BC$, которая лежит в плоскости $(ABC)$.

Ребро $BC$ перпендикулярно грани $(ABB_1A_1)$, так как $BC \perp AB$ (как стороны квадрата) и $BC \perp BB_1$ (так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию).

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ABB_1A_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $A_1B$ как раз лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$. Следовательно, $BC \perp A_1B$.

Мы нашли прямую ($BC$), лежащую в плоскости ($(ABC)$), которая перпендикулярна прямой ($A_1B$), при том что прямая $A_1B$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Ответ: Нет, утверждение неверно.