Страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.8. Через центр $O$ правильного треугольника $ABC$ проведена прямая $DO$, перпендикулярная плоскости $ABC$ (рис. 9.18). Найдите отрезок $DO$, если $AB = 6$ см, $DA = 4$ см.

Рис. 9.18

По условию задачи, прямая $DO$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что прямая $DO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, отрезок $DO$ перпендикулярен отрезку $AO$. Таким образом, треугольник $DOA$ является прямоугольным, где $\angle DOA = 90^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $DOA$ по теореме Пифагора мы можем выразить искомый отрезок $DO$:
$DA^2 = DO^2 + AO^2$
$DO^2 = DA^2 - AO^2$
$DO = \sqrt{DA^2 - AO^2}$

Нам дана длина отрезка $DA = 4$ см. Чтобы найти $DO$, нам нужно сначала вычислить длину отрезка $AO$.

Треугольник $ABC$ — правильный (равносторонний), а точка $O$ — его центр. В правильном треугольнике центр является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот, а также центром описанной и вписанной окружностей. Отрезок $AO$ является радиусом $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ находится по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию, сторона треугольника $a = AB = 6$ см. Найдем длину $AO$:
$AO = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная $DA$ и $AO$, мы можем найти $DO$:
$DO = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - (4 \cdot 3)} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

9.9. Через центр $O$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $MO$, перпендикулярная плоскости квадрата (рис. 9.19). Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $D$, если $AD = 4\sqrt{2}$ см, $MO = 2$ см.

Рис. 9.19

По условию, ABCD — квадрат, O — его центр. Прямая MO перпендикулярна плоскости квадрата. Нам нужно найти расстояние от точки M до вершины D, то есть длину отрезка MD.

1. Найдем длину диагонали квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle A = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон. Сторона квадрата $AD = 4\sqrt{2}$ см.

$BD^2 = AD^2 + AB^2$

Так как ABCD — квадрат, то $AB = AD = 4\sqrt{2}$ см.

$BD^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 + 16 \cdot 2 = 32 + 32 = 64$ см$^2$.

$BD = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Центр квадрата O является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам. Следовательно, отрезок OD равен половине диагонали BD.

$OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

3. По условию, прямая MO перпендикулярна плоскости квадрата (MO ⊥ (ABC)). Это означает, что MO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O. В частности, $MO \perp OD$. Таким образом, треугольник MOD является прямоугольным с прямым углом при вершине O.

4. Найдем искомое расстояние MD, которое является гипотенузой в прямоугольном треугольнике MOD, по теореме Пифагора. Катеты этого треугольника — $MO = 2$ см (по условию) и $OD = 4$ см.

$MD^2 = MO^2 + OD^2$

$MD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

$MD = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.

9.10. Точка $O$ – центр грани $ABCD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $a$ (рис. 9.20). Найдите:

1) расстояние от точки $O$ до вершины $B_1$ куба;

2) тангенс угла между прямыми $B_1O$ и $DD_1$.

Рис. 9.18

Рис. 9.19

Рис. 9.20

1) расстояние от точки O до вершины B₁ куба;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBB₁$. Ребро $BB₁$ перпендикулярно грани $ABCD$, а значит, и отрезку $OB$, лежащему в этой грани. Следовательно, угол $\angle OBB₁$ — прямой, а треугольник $OBB₁$ — прямоугольный.

Катет $BB₁$ является ребром куба, его длина равна $a$.

Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, поэтому отрезок $OB$ равен половине диагонали $BD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

Таким образом, длина катета $OB$ равна: $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $OB₁$, которая и является искомым расстоянием:

$OB₁^2 = OB^2 + BB₁^2$

$OB₁^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \frac{2a^2}{4} + a^2 = \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{3a^2}{2}$

$OB₁ = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $ \frac{a\sqrt{6}}{2} $

2) тангенс угла между прямыми B₁O и DD₁;

Угол между скрещивающимися прямыми $B₁O$ и $DD₁$ по определению равен углу между прямой $B₁O$ и любой прямой, параллельной $DD₁$ и пересекающей $B₁O$.

Поскольку $ABCDA₁B₁C₁D₁$ — куб, его боковые ребра параллельны. Значит, $DD₁ \parallel BB₁$. Прямая $BB₁$ пересекает прямую $B₁O$ в точке $B₁$.

Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $B₁O$ и $BB₁$, то есть углу $\angle OB₁B$ в прямоугольном треугольнике $OBB₁$.

Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($OB$) к прилежащему катету ($BB₁$):

$\tan(\angle OB₁B) = \frac{OB}{BB₁}$

Из предыдущего пункта мы знаем значения длин катетов: $OB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $BB₁ = a$.

Подставим эти значения в формулу:

$\tan(\angle OB₁B) = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

9.11. Диагональ $B_1D$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 17 см, а диагональ $AB_1$ боковой грани $AA_1B_1B$ равна 15 см (рис. 9.21). Найдите ребро $AD$ параллелепипеда.

Рис. 9.21

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AD$ перпендикулярно грани $AA_1B_1B$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AB$ и $AA_1$, лежащим в этой грани.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $AA_1B_1B$. Диагональ $AB_1$ является прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно диагонали $AB_1$, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DAB_1$. Так как $AD \perp AB_1$, этот треугольник является прямоугольным, где $AD$ и $AB_1$ – катеты, а $B_1D$ – гипотенуза.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle DAB_1$: $B_1D^2 = AD^2 + AB_1^2$

Подставим известные значения из условия задачи: $B_1D = 17$ см и $AB_1 = 15$ см. $17^2 = AD^2 + 15^2$

Выразим $AD^2$: $AD^2 = 17^2 - 15^2$ $AD^2 = 289 - 225$ $AD^2 = 64$

Найдем длину ребра $AD$: $AD = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

9.12. Через вершину $B$ ромба $ABCD$ проведена прямая $BE$, перпендикулярная плоскости ромба (рис. 9.22). Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$.

Рис. 9.22

Чтобы доказать, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$, необходимо доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости $BEO$ выберем прямые $BE$ и $BO$, которые пересекаются в точке $B$.

1. По условию задачи, прямая $BE$ перпендикулярна плоскости ромба $ABCD$. Прямая $AC$ является диагональю ромба и, следовательно, лежит в плоскости $ABCD$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $AC \perp BE$.

2. Фигура $ABCD$ является ромбом. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба $ABCD$ — это $AC$ и $BD$. Следовательно, $AC \perp BD$. Прямая $BO$ является частью диагонали $BD$ (так как $O$ — точка пересечения диагоналей), поэтому прямая $AC$ перпендикулярна и прямой $BO$. То есть, $AC \perp BO$.

3. Мы доказали, что прямая $AC$ перпендикулярна двум прямым — $BE$ и $BO$. Обе эти прямые лежат в плоскости $BEO$ и пересекаются в точке $B$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BEO$.

9.13. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена прямая AF, перпендикулярная плоскости ABC (рис. 9.23). Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости AFC.

Рис. 9.21

Рис. 9.22

Рис. 9.23

Для доказательства перпендикулярности прямой $BC$ плоскости $AFC$ воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. По условию, прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $AF$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. Следовательно, $AF \perp BC$.

2. По условию, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Это означает, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BC \perp AC$).

Таким образом, мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум прямым: $AF$ и $AC$. Обе эти прямые лежат в плоскости $AFC$ и пересекаются в точке $A$.

Исходя из признака перпендикулярности прямой и плоскости, можно заключить, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $AFC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.