Номер 29, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 29, страница 97.

Условие.

9.29. Через концы $M$ и $N$ и точку $K$ отрезка $MN$, не пересекающего плоскость $\alpha$, проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $M_1$, $N_1$ и $K_1$ соответственно. Найдите отрезок $NN_1$, если $MM_1 = 14$ см, $KK_1 = 10$ см, $MK : KN = 3 : 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку прямые $MM_1$, $NN_1$ и $KK_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны между собой: $MM_1 \parallel NN_1 \parallel KK_1$.

Точки $M$, $K$ и $N$ лежат на одной прямой (отрезке $MN$). Их проекции на плоскость $\alpha$, точки $M_1$, $K_1$ и $N_1$, также лежат на одной прямой. Следовательно, фигура $MNN_1M_1$ является трапецией, основаниями которой служат отрезки $MM_1$ и $NN_1$, а боковыми сторонами — $MN$ и $M_1N_1$. Отрезок $KK_1$ соединяет боковые стороны трапеции и параллелен её основаниям.

Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего боковую сторону в заданном отношении, может быть найдена по формуле. Точка $K$ делит боковую сторону $MN$ в отношении $MK : KN = 3:5$. Длина отрезка $KK_1$ выражается через длины оснований $MM_1$ и $NN_1$ следующим образом:$KK_1 = \frac{KN \cdot MM_1 + MK \cdot NN_1}{KN + MK}$.

Подставим известные данные в эту формулу: $MM_1 = 14$ см, $KK_1 = 10$ см, и отношение $MK : KN = 3 : 5$. Для удобства можно принять, что $MK$ соответствует 3 частям, а $KN$ — 5 частям.

$10 = \frac{5 \cdot 14 + 3 \cdot NN_1}{5 + 3}$

$10 = \frac{70 + 3 \cdot NN_1}{8}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $NN_1$:

$10 \cdot 8 = 70 + 3 \cdot NN_1$

$80 = 70 + 3 \cdot NN_1$

$3 \cdot NN_1 = 80 - 70$

$3 \cdot NN_1 = 10$

$NN_1 = \frac{10}{3}$ см, что равно $3\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $3\frac{1}{3}$ см.