Номер 32, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 32, страница 97.

Условие.

9.32. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $) и прямая $ a $, которая перпендикулярна плоскости $ \alpha $ ($ a \perp \alpha $). Требуется доказать, что прямая $ a $ также перпендикулярна плоскости $ \beta $ ($ a \perp \beta $).

Доказательство:

1. Обозначим точку пересечения прямой $ a $ с плоскостью $ \alpha $ как $ A $, а с плоскостью $ \beta $ как $ B $. Так как прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $, она не может быть параллельна ей или лежать в ней. Поскольку $ \alpha \parallel \beta $, прямая $ a $ также не параллельна плоскости $ \beta $ и, следовательно, пересекает её.

2. Чтобы доказать, что $ a \perp \beta $, нам нужно показать, что прямая $ a $ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ \beta $. Выберем в плоскости $ \beta $ произвольную прямую $ b $, проходящую через точку $ B $.

3. Рассмотрим плоскость $ \gamma $, которая проходит через прямые $ a $ и $ b $. Так как две эти прямые пересекаются в точке $ B $, такая плоскость единственна.

4. Плоскость $ \gamma $ пересекает плоскость $ \alpha $ по некоторой прямой $ a' $. Поскольку точка $ A $ принадлежит и прямой $ a $, и плоскости $ \alpha $, а прямая $ a $ лежит в плоскости $ \gamma $, то точка $ A $ принадлежит и плоскости $ \gamma $. Следовательно, прямая $ a' $ проходит через точку $ A $.

5. Согласно свойству параллельных плоскостей, если плоскость ($ \gamma $) пересекает две параллельные плоскости ($ \alpha $ и $ \beta $), то линии их пересечения ($ a' $ и $ b $) параллельны. Таким образом, $ a' \parallel b $.

6. По условию задачи, прямая $ a $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $ ($ a \perp \alpha $). По определению, это означает, что прямая $ a $ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ \alpha $ и проходящей через точку $ A $. Поскольку прямая $ a' $ лежит в плоскости $ \alpha $ и проходит через $ A $, то $ a \perp a' $.

7. Теперь у нас есть следующие соотношения: $ a \perp a' $ и $ a' \parallel b $. Существует теорема (справедливая и в пространстве), согласно которой, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Следовательно, $ a \perp b $.

8. Так как прямая $ b $ была выбрана в плоскости $ \beta $ произвольно, мы доказали, что прямая $ a $ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ \beta $. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, это означает, что $ a \perp \beta $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.