Номер 35, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 35, страница 97.

Условие.

9.35. Через вершину $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена прямая $BD$, перпендикулярная плоскости $ABC$. На отрезках $DC$ и $DA$ отмечены точки $E$ и $F$, такие, что $EF \parallel AC$. Докажите, что $BE \perp EF$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Из этого следует, что прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. В частности, $BD$ перпендикулярна прямой $AC$, то есть $BD \perp AC$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Это означает, что катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны: $AC \perp BC$.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точки $B$, $C$ и $D$, обозначим ее $(BCD)$. Прямые $BC$ и $BD$ лежат в этой плоскости и пересекаются в точке $B$. Мы установили, что прямая $AC$ перпендикулярна обеим этим прямым ($AC \perp BC$ и $AC \perp BD$).

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BCD)$, то есть $AC \perp (BCD)$.

По условию задачи, прямая $EF$ параллельна прямой $AC$ ($EF \parallel AC$). Существует теорема, согласно которой, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как $AC \perp (BCD)$ и $EF \parallel AC$, то и $EF \perp (BCD)$.

Рассмотрим прямую $BE$. Точка $B$ принадлежит плоскости $(BCD)$. Точка $E$ по условию лежит на отрезке $DC$, который, в свою очередь, является стороной треугольника $DBC$ и целиком лежит в плоскости $(BCD)$. Таким образом, обе точки $B$ и $E$ лежат в плоскости $(BCD)$, а значит, и вся прямая $BE$ лежит в этой плоскости.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Мы доказали, что $EF \perp (BCD)$, а прямая $BE$ лежит в плоскости $(BCD)$. Из этого следует, что $BE \perp EF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.