Номер 2, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 103.

Условие.

10.2. На рисунке 10.10 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость:

1) $A_1B_1C_1$; 2) $CDD_1$; 3) $AA_1D_1$.

Рис. 10.9 Рис. 10.10

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения проекции отрезка на плоскость необходимо найти проекции его концов на эту плоскость и соединить их. Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка лежит в плоскости, то ее проекция совпадает с самой точкой.

1) $A_1B_1C_1$

Найдем проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$.

- Проекция точки $D$: Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Следовательно, точка $D_1$ является ортогональной проекцией точки $D$ на плоскость $A_1B_1C_1$.

- Проекция точки $B_1$: Точка $B_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$, поэтому ее проекцией на эту плоскость является сама точка $B_1$.

Соединив проекции концов отрезка $DB_1$, получаем отрезок $D_1B_1$.

Ответ: $D_1B_1$.

2) $CDD_1$

Найдем проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1$.

- Проекция точки $D$: Точка $D$ принадлежит плоскости $CDD_1$, значит, ее проекция совпадает с ней самой.

- Проекция точки $B_1$: В прямоугольном параллелепипеде ребро $B_1C_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $CDD_1$: $B_1C_1 \perp C_1D_1$ (так как грань $A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольник) и $B_1C_1 \perp CC_1$ (так как грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник). Следовательно, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно всей плоскости $CDD_1$, а точка $C_1$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на эту плоскость.

Соединив проекции, получаем отрезок $DC_1$.

Ответ: $DC_1$.

3) $AA_1D_1$

Найдем проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость боковой грани $AA_1D_1$.

- Проекция точки $D$: Точка $D$ принадлежит плоскости $AA_1D_1$, поэтому ее проекция — это сама точка $D$.

- Проекция точки $B_1$: Ребро $A_1B_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1D_1$: $A_1B_1 \perp A_1D_1$ (так как грань $A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольник) и $A_1B_1 \perp AA_1$ (так как грань $AA_1B_1B$ — прямоугольник). Таким образом, ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $AA_1D_1$, и точка $A_1$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на эту плоскость.

Соединив проекции, получаем отрезок $DA_1$.

Ответ: $DA_1$.