Номер 6, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 103.

Условие.

10.6. Из точки M проведены к плоскости $\alpha$ перпендикуляр MH и наклонные MA и MB (рис. 10.12). Найдите наклонную MA, если $BH = 6\sqrt{6}$ см, $MB = 18$ см, $\angle MAH = 60^\circ$.

Рис. 10.11

Рис. 10.12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, $MH$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к плоскости $\alpha$, а $MA$ и $MB$ — наклонные. Из определения перпендикуляра к плоскости следует, что отрезок $MH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через его основание $H$. Следовательно, треугольники $\triangle MHB$ и $\triangle MHA$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$ ($\angle MHB = 90^\circ$ и $\angle MHA = 90^\circ$).

Решение можно разбить на два шага:

1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$. В нем известна длина гипотенузы $MB = 18$ см и катета $BH = 6\sqrt{6}$ см. Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), найдем длину второго катета $MH$, который является расстоянием от точки $M$ до плоскости $\alpha$:

$MB^2 = MH^2 + BH^2$

Выразим $MH^2$:

$MH^2 = MB^2 - BH^2$

Подставим известные значения:

$MH^2 = 18^2 - (6\sqrt{6})^2 = 324 - (36 \cdot 6) = 324 - 216 = 108$

Отсюда находим длину $MH$:

$MH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$. Угол $\angle MAH$ является углом между наклонной $MA$ и ее проекцией $AH$ на плоскость $\alpha$. По условию $\angle MAH = 60^\circ$. Мы уже нашли длину катета $MH = 6\sqrt{3}$ см, который лежит напротив угла $\angle MAH$. Для нахождения длины гипотенузы $MA$ воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MAH) = \frac{MH}{MA}$

Из этой формулы выразим искомую длину $MA$:

$MA = \frac{MH}{\sin(\angle MAH)}$

Подставим известные значения ($MH = 6\sqrt{3}$ см и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$):

$MA = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.