Номер 11, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 104.

Условие.

10.11. Расстояние между скрещивающимися прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям $\alpha$ и $\beta$, равно 10 см. Чему равно расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть a и b — скрещивающиеся прямые, $\alpha$ и $\beta$ — параллельные плоскости, причем прямая a лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая b — в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Расстояние между прямыми a и b по условию равно 10 см.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной их общего перпендикуляра. Обозначим этот общий перпендикуляр как отрезок MN, где точка $M$ лежит на прямой a ($M \in a$), а точка $N$ — на прямой b ($N \in b$). Из условия следует, что длина этого отрезка $|MN| = 10$ см. По определению, прямая, содержащая отрезок MN, перпендикулярна и прямой a, и прямой b ($MN \perp a$ и $MN \perp b$).

Расстояние между параллельными плоскостями — это длина отрезка, перпендикулярного этим плоскостям, концы которого принадлежат этим плоскостям.

Чтобы найти расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, докажем, что отрезок MN перпендикулярен этим плоскостям. Поскольку $M \in a$ и $a \subset \alpha$, то точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Аналогично, поскольку $N \in b$ и $b \subset \beta$, то точка $N$ принадлежит плоскости $\beta$ ($N \in \beta$). Таким образом, отрезок MN соединяет плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Теперь докажем перпендикулярность MN к плоскостям. В плоскости $\alpha$ через точку M проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Так как $a$ и $b$ скрещиваются, то $a$ и $b'$ пересекаются в точке M. Поскольку $MN \perp b$ и $b' \parallel b$, то из свойств перпендикулярных прямых следует, что $MN \perp b'$. Мы также знаем, что $MN \perp a$. Таким образом, прямая MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и $b'$, лежащим в плоскости $\alpha$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая MN перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), а прямая MN перпендикулярна одной из них (плоскости $\alpha$), то она перпендикулярна и другой плоскости (плоскости $\beta$).

Итак, отрезок MN соединяет точки на плоскостях $\alpha$ и $\beta$ и перпендикулярен им обеим. Следовательно, его длина и есть расстояние между этими плоскостями. $d(\alpha, \beta) = |MN| = 10$ см.

Ответ: 10 см.