Номер 18, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 18, страница 105.

Условие.

10.18. Из точки A к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$ длиной 25 см и 17 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости $\alpha$, если проекции данных наклонных на эту плоскость относятся как $5 : 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Это длина перпендикуляра $AH$, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$, где $H$ - основание перпендикуляра.

$AB$ и $AC$ - наклонные к плоскости $\alpha$. По условию, $AB = 25$ см и $AC = 17$ см.

$HB$ и $HC$ - проекции наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Перпендикуляр $AH$, наклонная $AB$ и ее проекция $HB$ образуют прямоугольный треугольник $AHB$ (с прямым углом $H$). Аналогично, $AH$, $AC$ и $HC$ образуют прямоугольный треугольник $AHC$ (с прямым углом $H$).

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

1. Из $\triangle AHB$: $AB^2 = AH^2 + HB^2$. Подставив известные значения, получаем:$25^2 = h^2 + HB^2 \implies 625 = h^2 + HB^2$

2. Из $\triangle AHC$: $AC^2 = AH^2 + HC^2$. Подставив известные значения, получаем:$17^2 = h^2 + HC^2 \implies 289 = h^2 + HC^2$

По условию, отношение проекций данных наклонных равно $5:2$, то есть $HB : HC = 5 : 2$.Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $HB = 5x$ и $HC = 2x$.

Подставим эти выражения в полученные ранее уравнения:

1. $625 = h^2 + (5x)^2 \implies 625 = h^2 + 25x^2$

2. $289 = h^2 + (2x)^2 \implies 289 = h^2 + 4x^2$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $x$. Выразим $h^2$ из обоих уравнений:

$h^2 = 625 - 25x^2$

$h^2 = 289 - 4x^2$

Приравняем правые части уравнений:

$625 - 25x^2 = 289 - 4x^2$

$625 - 289 = 25x^2 - 4x^2$

$336 = 21x^2$

$x^2 = \frac{336}{21}$

$x^2 = 16$

$x = 4$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдем $h^2$, подставив значение $x^2 = 16$ в любое из уравнений для $h^2$. Возьмем второе:

$h^2 = 289 - 4x^2 = 289 - 4 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$

Следовательно, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 15 см.

Ответ: 15 см.