Номер 22, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 22, страница 105.

Условие.

10.22. Точка M находится на расстоянии 6 см от каждой вершины правильного треугольника ABC, сторона которого равна 9 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим искомое расстояние от точки M до плоскости ABC как $h$. Пусть H - это основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость треугольника ABC. Тогда $h = MH$.

По условию, точка M находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины треугольника ABC. Это означает, что наклонные MA, MB и MC, проведенные из точки M к плоскости ABC, равны: $MA = MB = MC = 6$ см.

Так как наклонные равны, то равны и их проекции на плоскость ABC. Проекциями наклонных MA, MB, MC являются отрезки HA, HB, HC соответственно. Следовательно, $HA = HB = HC$.

Точка H в плоскости треугольника ABC, равноудаленная от его вершин, является центром описанной около этого треугольника окружности. Так как треугольник ABC правильный (равносторонний), то H - это его центр. Расстояние от центра до любой вершины правильного треугольника является радиусом описанной окружности $R$.

Радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию, сторона треугольника $a = 9$ см. Найдем радиус: $R = HA = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MHA (угол MHA = $90^\circ$). В этом треугольнике:

• $MA$ - гипотенуза, $MA = 6$ см.
• $HA$ - катет, $HA = 3\sqrt{3}$ см.
• $MH$ - катет, который нам нужно найти.

По теореме Пифагора: $MA^2 = MH^2 + HA^2$.

Выразим $MH^2$: $MH^2 = MA^2 - HA^2$

Подставим числовые значения: $MH^2 = 6^2 - (3\sqrt{3})^2 = 36 - (9 \cdot 3) = 36 - 27 = 9$

$MH = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.