Номер 27, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 27, страница 105.

Условие.

10.27. Через вершину $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена плоскость $\beta$, параллельная прямой $AC$. Найдите проекцию гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$, если $BC = 20$ см, $AC = 15$ см, а проекция катета $BC$ на эту плоскость равна 12 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $A'$, $B'$, $C'$ — ортогональные проекции вершин треугольника $A$, $B$, $C$ на плоскость $\beta$.Поскольку вершина $B$ лежит в плоскости $\beta$, ее проекция совпадает с самой точкой $B$, то есть $B' = B$.Тогда проекцией катета $BC$ на плоскость $\beta$ является отрезок $BC'$, а проекцией гипотенузы $AB$ — отрезок $BA'$.

1. Рассмотрим проекцию катета $BC$. Отрезок $CC'$ является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на плоскость $\beta$. Следовательно, треугольник $\triangle BCC'$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BC'C = 90^\circ$.По условию, длина катета $BC = 20$ см, а длина его проекции $BC' = 12$ см.Используя теорему Пифагора для $\triangle BCC'$, найдем длину отрезка $CC'$, который представляет собой расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$:$BC^2 = (BC')^2 + (CC')^2$$(CC')^2 = BC^2 - (BC')^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$CC' = \sqrt{256} = 16$ см.

2. По условию задачи, прямая $AC$ параллельна плоскости $\beta$. Это означает, что все точки прямой $AC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\beta$. Следовательно, расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ равно расстоянию от точки $C$ до плоскости $\beta$.Расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ — это длина перпендикуляра $AA'$. Таким образом:$AA' = CC' = 16$ см.

3. Найдем длину гипотенузы $AB$ в исходном прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

4. Теперь найдем длину проекции гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$, то есть длину отрезка $BA'$. Отрезок $AA'$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, значит, треугольник $\triangle BAA'$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BA'A = 90^\circ$.Используя теорему Пифагора для $\triangle BAA'$, найдем длину катета $BA'$:$AB^2 = (BA')^2 + (AA')^2$$(BA')^2 = AB^2 - (AA')^2 = 25^2 - 16^2 = 625 - 256 = 369$$BA' = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}$ см.

Ответ: $3\sqrt{41}$ см.