Номер 31, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 31, страница 106.

Условие.

10.31. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точки $O$ и $O_1$ – центры соответственно граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ куба. Найдите расстояние между прямыми $CD$ и $OO_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Прямая $OO_1$ соединяет центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ куба. Прямая $CD$ является ребром нижнего основания. Так как прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$, а прямая $CD$ лежит в этой плоскости, но не проходит через точку $O$, то прямые $CD$ и $OO_1$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

Пусть $M$ — середина ребра $CD$. Точка $M$ лежит на прямой $CD$. Точка $O$, являясь центром грани $ABCD$, лежит на прямой $OO_1$. Рассмотрим отрезок $OM$, соединяющий эти две прямые.

1. В плоскости основания $(ABCD)$ лежит квадрат $ABCD$. Отрезок $OM$ соединяет центр квадрата $O$ с серединой стороны $CD$. По свойству квадрата, такой отрезок перпендикулярен этой стороне. Следовательно, $OM \perp CD$.

2. Прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$, так как она соединяет центры параллельных граней и параллельна боковым ребрам куба, перпендикулярным основанию. Отрезок $OM$ полностью лежит в плоскости $(ABCD)$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $OO_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, а значит, $OO_1 \perp OM$.

Таким образом, отрезок $OM$ является общим перпендикуляром к прямым $CD$ и $OO_1$. Его длина и есть искомое расстояние.

Длина отрезка $OM$ в квадрате $ABCD$ со стороной $a$ равна половине длины стороны, параллельной этому отрезку, например, $AD$.$OM = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}$.

Ответ: $\frac{a}{2}$