Номер 36, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 36, страница 106.

Условие.

10.36. Основания трапеции равны 15 см и 20 см. Через большее основание трапеции проведена плоскость $\alpha$ на расстоянии 14 см от её меньшего основания. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, большее основание $AD = 20$ см, а меньшее основание $BC = 15$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Плоскость $\alpha$ проходит через большее основание $AD$, что означает, что прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$. Расстояние от меньшего основания $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см. Требуется найти расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$.

1. Свойства трапеции.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, образованные пересечением диагоналей.

• $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные углы).
• $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по трём углам. Из подобия следует, что отношение их соответствующих сторон равно отношению оснований:$$ \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} $$Подставляя известные значения, получаем:$$ \frac{AO}{CO} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} $$Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ делит диагональ $AC$ в отношении $AO:CO = 4:3$.

2. Нахождение расстояния.
Обозначим искомое расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$ как $h_O$.

Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через основание $AD$, расстояние от любой точки прямой $AD$ до этой плоскости равно нулю. В частности, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно $h_A = 0$.

По условию, расстояние от меньшего основания $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см. Так как $BC \parallel AD$ и $AD \subset \alpha$, то прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, расстояние от любой точки прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ постоянно и равно 14 см. В частности, расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ равно $h_C = 14$ см.

Точка $O$ лежит на отрезке $AC$. Опустим перпендикуляры из точек $C$ и $O$ на плоскость $\alpha$. Пусть $C'$ и $O'$ — основания этих перпендикуляров. Тогда длины этих перпендикуляров равны расстояниям от точек до плоскости: $CC' = h_C = 14$ см, а $OO' = h_O$ — искомое расстояние. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому её проекция на плоскость $\alpha$ — это сама точка $A$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $AC$ и перпендикуляр $CC'$. В этой плоскости лежат точки $A, O, C$ и их проекции $A, O', C'$. Прямые $OO'$ и $CC'$ параллельны друг другу, так как обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы имеем два подобных прямоугольных треугольника: $\triangle AOO' \sim \triangle ACC'$ (по общему острому углу при вершине $A$). Из подобия треугольников следует соотношение:$$ \frac{OO'}{CC'} = \frac{AO}{AC} $$Найдем отношение $\frac{AO}{AC}$. Мы знаем, что $AO:CO = 4:3$. Тогда можно представить длины отрезков как $AO = 4k$ и $CO = 3k$ для некоторого коэффициента $k$. Длина всей диагонали $AC$ будет равна $AC = AO + CO = 4k + 3k = 7k$.Тогда искомое отношение равно:$$ \frac{AO}{AC} = \frac{4k}{7k} = \frac{4}{7} $$Теперь подставим все известные значения в пропорцию:$$ \frac{h_O}{14} = \frac{4}{7} $$Отсюда выразим $h_O$:$$ h_O = 14 \cdot \frac{4}{7} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см} $$

Ответ: 8 см.