Номер 39, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 39, страница 106.

Условие.

10.39. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ такова, что $OM = 1$ см. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, не имеющая с параллелограммом общих точек. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ не больше 4 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $d_A, d_B, d_C, d_D$ и $d_O$ — это расстояния от точек A, B, C, D и O соответственно до плоскости $\alpha$.

По свойству параллелограмма, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая является серединой каждой из них.

Поскольку плоскость $\alpha$ не имеет общих точек с параллелограммом ABCD, все его вершины лежат по одну сторону от этой плоскости. Для любого отрезка, концы которого лежат по одну сторону от плоскости, расстояние от его середины до плоскости равно полусумме расстояний от его концов до той же плоскости.

Применив это свойство к диагонали AC, получим: $d_O = \frac{d_A + d_C}{2}$, откуда следует $d_A + d_C = 2d_O$.

Аналогично, для диагонали BD: $d_O = \frac{d_B + d_D}{2}$, откуда $d_B + d_D = 2d_O$.

Сумма расстояний от всех вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ (обозначим ее S) вычисляется следующим образом: $S = d_A + d_B + d_C + d_D = (d_A + d_C) + (d_B + d_D) = 2d_O + 2d_O = 4d_O$.

Теперь найдем максимальное возможное значение для $d_O$. По определению, расстояние от точки O до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на эту плоскость. Пусть H — основание этого перпендикуляра. Тогда $d_O = OH$.

Из условия известно, что плоскость $\alpha$ проходит через точку M, следовательно, точка M лежит в плоскости $\alpha$. Так как H тоже лежит в плоскости $\alpha$, то и отрезок MH лежит в этой плоскости.

Рассмотрим треугольник OMH. Так как $OH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку H. В частности, $OH \perp MH$. Таким образом, треугольник OMH является прямоугольным с прямым углом при вершине H.

В прямоугольном треугольнике OMH отрезок OM является гипотенузой, а OH — катетом. Длина катета не может превышать длину гипотенузы, поэтому $OH \le OM$.

Так как $d_O = OH$ и, по условию задачи, $OM = 1$ см, мы получаем неравенство: $d_O \le 1$ см.

Наконец, подставим эту оценку для $d_O$ в формулу для суммы расстояний S: $S = 4d_O \le 4 \cdot 1 = 4$ см.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ не больше 4 см.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ не больше 4 см.