Номер 1, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 108.

Условие.

11.1. На рисунке 11.3 изображён квадрат $ABCD$, прямая $NC$ перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые $BD$ и $NO$ перпендикулярны.

Рис. 11.3

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку по условию $ABCD$ является квадратом, его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Точка $O$ — точка их пересечения. Следовательно, $AC \perp BD$, а значит и $OC \perp BD$, так как $O$ лежит на $AC$.

По условию, прямая $NC$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $NC \perp BD$.

Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $OC$ и $NC$, лежащим в плоскости $(NOC)$ (прямые $OC$ и $NC$ пересекаются в точке $C$). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $BD \perp (NOC)$.

Прямая $NO$ лежит в плоскости $(NOC)$, так как точки $N$ и $O$ принадлежат этой плоскости. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку $BD \perp (NOC)$, то $BD \perp NO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.