Страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

Теорема о трёх перпендикулярах устанавливает связь между перпендикулярностью прямой к плоскости, перпендикулярностью наклонной и её проекции. Она имеет две формулировки: прямую и обратную.

Прямая теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Рассмотрим это подробнее:

• Пусть есть плоскость $\alpha$.
• Из точки $A$, не лежащей в плоскости, опущен перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$ ($AH$ — первый перпендикуляр).
• $AM$ — это наклонная, проведенная из точки $A$ к плоскости $\alpha$.
• $HM$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$.
• В плоскости $\alpha$ проведена прямая $a$, проходящая через основание наклонной, точку $M$.

Согласно теореме, если проекция $HM$ перпендикулярна прямой $a$ ($HM \perp a$), то и сама наклонная $AM$ перпендикулярна этой прямой $a$ ($AM \perp a$).

Ответ: Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к самой наклонной, перпендикулярна и её проекции.

Используя те же обозначения, что и выше:

Если наклонная $AM$ перпендикулярна прямой $a$, лежащей в плоскости ($AM \perp a$), то и её проекция $HM$ перпендикулярна этой прямой $a$ ($HM \perp a$).

Ответ: Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

11.1. На рисунке 11.3 изображён квадрат $ABCD$, прямая $NC$ перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые $BD$ и $NO$ перпендикулярны.

Рис. 11.3

Поскольку по условию $ABCD$ является квадратом, его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Точка $O$ — точка их пересечения. Следовательно, $AC \perp BD$, а значит и $OC \perp BD$, так как $O$ лежит на $AC$.

По условию, прямая $NC$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $NC \perp BD$.

Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $OC$ и $NC$, лежащим в плоскости $(NOC)$ (прямые $OC$ и $NC$ пересекаются в точке $C$). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $BD \perp (NOC)$.

Прямая $NO$ лежит в плоскости $(NOC)$, так как точки $N$ и $O$ принадлежат этой плоскости. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку $BD \perp (NOC)$, то $BD \perp NO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

11.2. На рисунке 11.4 изображён ромб $ABCD$. Прямая $FC$ перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые $AF$ и $BD$ перпендикулярны.

Рис. 11.4

Поскольку прямая $FC$ перпендикулярна плоскости ромба $(ABCD)$ по условию, то отрезок $AC$ является проекцией наклонной $AF$ на эту плоскость.

В ромбе $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны по свойству ромба, то есть $AC \perp BD$.

Таким образом, мы имеем прямую $BD$, лежащую в плоскости $(ABCD)$, которая перпендикулярна проекции $AC$ наклонной $AF$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, $BD \perp AF$.

Ответ: Что и требовалось доказать.