Страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.9. Прямая MB перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD, MD $ \perp $ AC. Докажите, что четырёхугольник ABCD – ромб.

По условию задачи, $ABCD$ является параллелограммом. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $(ABC)$, что записывается как $MB \perp (ABC)$. Также известно, что прямая $MD$ перпендикулярна диагонали $AC$, то есть $MD \perp AC$.

Рассмотрим прямую $MB$ как перпендикуляр к плоскости $(ABC)$. Прямая $MD$ является наклонной к этой плоскости, а отрезок $BD$ — её проекцией на плоскость $(ABC)$, поскольку $B$ — основание перпендикуляра, а $D$ — точка, принадлежащая наклонной и плоскости.

Воспользуемся обратной теоремой о трёх перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость.

В нашем случае, прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и по условию перпендикулярна наклонной $MD$ ($MD \perp AC$). Следовательно, по этой теореме, прямая $AC$ перпендикулярна и проекции $BD$. Таким образом, мы получаем, что $AC \perp BD$.

Итак, мы установили, что диагонали параллелограмма $ABCD$ взаимно перпендикулярны. Согласно свойству параллелограммов, если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Ответ: Утверждение доказано.

11.10. Отрезок $DA$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $AB = 10$ см, $AC = 17$ см, $BC = 21$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $BC$, если расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно $15$ см.

По условию, отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DA$. Следовательно, $DA = 15$ см.

Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BC$. Обозначим этот перпендикуляр как $DH$, где точка $H$ лежит на прямой $BC$. Таким образом, $DH \perp BC$.

Рассмотрим отрезок $AH$. $DA$ — это перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DH$ — наклонная к этой плоскости, а $AH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $ABC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AH$) на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Значит, $AH \perp BC$. Следовательно, $AH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.

Чтобы найти длину высоты $AH$, сначала найдем площадь треугольника $ABC$, используя формулу Герона. Стороны треугольника: $a = BC = 21$ см, $b = AC = 17$ см, $c = AB = 10$ см.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{21+17+10}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{7056} = 84$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.

Подставим известные значения и найдем высоту $AH$:

$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot AH$

$AH = \frac{84 \cdot 2}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $DAH$. Так как отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $ABC$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AH$. Следовательно, треугольник $DAH$ — прямоугольный, с прямым углом $A$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $DH$, которая и является искомым расстоянием от точки $D$ до прямой $BC$:

$DH^2 = DA^2 + AH^2$

$DH^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$

$DH = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

11.11. Отрезок $AB$ – диаметр окружности с центром $O$, отрезок $BC$ – её хорда, $AB = 12$ см, $\angle ABC = 30^\circ$. Отрезок $AE$ – перпендикуляр к плоскости данной окружности. Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости окружности, если расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в плоскости окружности. Поскольку отрезок $AB$ является диаметром, а точка $C$ лежит на окружности, то угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB = 12$ см, а угол $\angle ABC = 30^{\circ}$. Катет $AC$, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы, но мы можем найти его и через синус:
$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 12 \cdot \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

3. По условию, отрезок $AE$ перпендикулярен плоскости окружности. Расстояние от точки $E$ до плоскости окружности — это длина этого перпендикуляра, то есть длина отрезка $AE$.

4. Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см. Пусть $EK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на прямую $BC$. Тогда $EK \perp BC$ и $EK = 10$ см.

5. Рассмотрим связь между перпендикуляром к плоскости, наклонной и ее проекцией.
$AE$ — перпендикуляр к плоскости окружности ($ABC$).
$EK$ — наклонная, проведенная из точки $E$ к прямой $BC$.
$AK$ — проекция наклонной $EK$ на плоскость окружности.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($EK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AK$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $AK \perp BC$.

6. В плоскости окружности $AK$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к прямой $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с $\angle ACB = 90^{\circ}$) перпендикуляром, проведенным из вершины $A$ к прямой, содержащей катет $BC$, является катет $AC$. Это означает, что точка $K$ совпадает с точкой $C$, а длина проекции $AK$ равна длине $AC$.
$AK = AC = 6$ см.

7. Теперь рассмотрим треугольник $AEC$. Так как $AE$ перпендикулярен плоскости ($ABC$), то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$. Следовательно, $\angle EAC = 90^{\circ}$, и треугольник $AEC$ — прямоугольный.

8. В прямоугольном треугольнике $AEC$ мы знаем катет $AC = 6$ см и гипотенузу $EC$ (которая совпадает с $EK$) $EC = 10$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $AE$:
$AE^2 + AC^2 = EC^2$
$AE^2 + 6^2 = 10^2$
$AE^2 + 36 = 100$
$AE^2 = 100 - 36 = 64$
$AE = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $E$ до плоскости окружности равно 8 см.
Ответ: 8 см.

11.12. Отрезок $MA$ – перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $CD$, если $\angle BAC = 30^\circ$, $AD = 10$ \text{см}, $MA = 5\sqrt{3}$ \text{см}.

Поскольку отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости ромба $ABCD$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ — это длина перпендикуляра $MH$, опущенного из точки $M$ на прямую $CD$, то есть $MH \perp CD$.

Рассмотрим наклонную $MH$ к плоскости ромба. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к плоскости ромба, а отрезок $AH$ — это проекция наклонной $MH$ на эту плоскость.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой ($CD$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AH$) на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $CD$.

Найдем длину $AH$, работая в плоскости ромба $ABCD$.

1. В ромбе $ABCD$ все стороны равны, следовательно, $AD = AB = CD = 10$ см.

2. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Поэтому $\angle BAD = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

3. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, значит $\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Длина $AH$ — это высота треугольника $\triangle ACD$, опущенная из вершины $A$ на сторону $CD$. Найдем площадь $\triangle ACD$ двумя способами.С одной стороны, по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120^\circ) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

С другой стороны, по формуле площади через основание и высоту:$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH = 5 \cdot AH$.

Приравняем полученные выражения для площади:$5 \cdot AH = 25\sqrt{3}$$AH = \frac{25\sqrt{3}}{5} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем искомое расстояние $MH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAH$. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $AH$. Следовательно, $\triangle MAH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MAH$.

По теореме Пифагора:$MH^2 = MA^2 + AH^2$$MH^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 3) + (25 \cdot 3) = 75 + 75 = 150$.

$MH = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.

11.13. Отрезок $DA$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $AB = 14$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, если эта точка удалена от прямой $BC$ на $2\sqrt{43}$ см.

По условию, отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $DA$.
Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, $DH \perp BC$, и по условию $DH = 2\sqrt{43}$ см.
Рассмотрим связь между отрезками $DA$, $AH$ и $DH$. $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DH$ — наклонная к этой плоскости, а $AH$ — проекция этой наклонной на плоскость $ABC$.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна той же прямой. Значит, $AH \perp BC$.
Так как $DA$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $AH$. Следовательно, треугольник $DAH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. По теореме Пифагора для $\triangle DAH$: $DA^2 + AH^2 = DH^2$, откуда $DA = \sqrt{DH^2 - AH^2}$.
Для вычисления $DA$ необходимо найти длину $AH$. Отрезок $AH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Поскольку $\angle ABC = 120^\circ$ (тупой), основание высоты $H$ окажется на продолжении стороны $BC$ за точкой $B$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому его величина составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В этом треугольнике гипотенуза $AB = 14$ см.
Длина катета $AH$ равна: $AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 14 \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ см.
Теперь можем вычислить искомую длину $DA$: $DA = \sqrt{DH^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 - (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 \cdot 43 - 49 \cdot 3} = \sqrt{172 - 147} = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

11.14. Точка M равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника ABC. Проекцией точки M на плоскость ABC является точка O, принадлежащая треугольнику. Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от этой точки до плоскости ABC равно $3\sqrt{2}$ см, $AB = 18$ см.

Пусть $ABC$ — правильный треугольник со стороной $AB = 18$ см. Точка $M$ — точка в пространстве, а точка $O$ — её проекция на плоскость треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Длина этого отрезка является расстоянием от точки $M$ до плоскости $ABC$, то есть $MO = 3\sqrt{2}$ см.

Пусть $MK$ — расстояние от точки $M$ до прямой $AB$. По определению, $MK$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $AB$, то есть $MK \perp AB$.

Рассмотрим отрезки $MO$ (перпендикуляр к плоскости), $MK$ (наклонная к плоскости) и $OK$ (проекция наклонной на плоскость). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то и ее проекция $OK$ перпендикулярна этой прямой ($OK \perp AB$). Таким образом, длина отрезка $OK$ является расстоянием от точки $O$ до стороны $AB$.

По условию, точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$. Это означает, что расстояния от точки $M$ до сторон $AB$, $BC$ и $AC$ равны. Обозначим эти расстояния как $d$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные перпендикуляром $MO$ и наклонными (расстояниями от $M$ до сторон). Все эти треугольники имеют общий катет $MO$ и равные гипотенузы (равные $d$). Следовательно, вторые катеты этих треугольников также равны. Это означает, что точка $O$ равноудалена от сторон $AB$, $BC$ и $AC$.

Точка внутри треугольника, равноудаленная от его сторон, является центром вписанной окружности. Для правильного треугольника центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, центром тяжести и ортоцентром. Расстояние от этой точки до любой из сторон равно радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, $OK = r$. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности со стороной $a$ вычисляется по формуле:$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$Подставим значение стороны $a = AB = 18$ см:$OK = r = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$, где $\angle MOK = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — $MO = 3\sqrt{2}$ см и $OK = 3\sqrt{3}$ см. Гипотенуза $MK$ — это искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AB$. По теореме Пифагора:$MK^2 = MO^2 + OK^2$$MK^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 + 9 \cdot 3 = 18 + 27 = 45$$MK = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.

11.15. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей – 16 см. Точка $M$ находится на расстоянии 5,2 см от каждой прямой, содержащей сторону ромба. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Пусть дан ромб со стороной $a = 10$ см и одной из диагоналей $d_1 = 16$ см. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Половина известной диагонали равна $\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали: $\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см. Таким образом, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны ромба, ее проекция на плоскость ромба также равноудалена от этих прямых. Единственная точка в плоскости ромба, обладающая таким свойством, — это центр вписанной в него окружности, который совпадает с точкой пересечения диагоналей $O$. Следовательно, искомое расстояние от точки $M$ до плоскости ромба — это длина перпендикуляра $MO$.

Расстояние от центра ромба $O$ до его стороны — это радиус вписанной окружности $r$. Найдем его. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см$^2$. С другой стороны, площадь ромба равна $S = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. Отсюда $h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9.6$ см. Радиус вписанной окружности равен половине высоты: $r = \frac{h}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$, где $MO$ — перпендикуляр к плоскости ромба, $OK$ — перпендикуляр из точки $O$ к одной из сторон ромба ($OK = r = 4.8$ см), а $MK$ — наклонная, представляющая собой расстояние от точки $M$ до этой же стороны. По условию, $MK = 5.2$ см. По теореме Пифагора, $MO^2 + OK^2 = MK^2$.

Отсюда найдем $MO$: $MO^2 = MK^2 - OK^2 = 5.2^2 - 4.8^2$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $MO^2 = (5.2 - 4.8)(5.2 + 4.8) = 0.4 \cdot 10 = 4$. $MO = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

11.16. Точка $M$ не принадлежит плоскости треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) и находится на расстоянии $2\sqrt{5}$ см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Точка касания окружности, вписанной в треугольник $ABC$, с гипотенузой $AB$ делит её на отрезки длиной 3 см и 10 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Пусть $MO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда точка $O$ является проекцией точки $M$ на эту плоскость, а длина отрезка $MO$ — это искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

По условию, точка $M$ находится на одинаковом расстоянии $2\sqrt{5}$ см от прямых, содержащих стороны треугольника. Пусть $MK$, $ML$ и $MN$ — перпендикуляры из точки $M$ на прямые $AC$, $BC$ и $AB$ соответственно. Тогда $MK = ML = MN = 2\sqrt{5}$ см.

Отрезки $OK$, $OL$ и $ON$ являются проекциями наклонных $MK$, $ML$ и $MN$ на плоскость $ABC$. Поскольку $MO \perp \text{плоскости } ABC$, то по теореме о трех перпендикулярах из $MK \perp AC$, $ML \perp BC$ и $MN \perp AB$ следует, что $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $ON \perp AB$.

Таким образом, $OK$, $OL$ и $ON$ — это расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$ (углы при вершине $O$ прямые). У них общий катет $MO$. По теореме Пифагора:
$OK^2 = MK^2 - MO^2$
$OL^2 = ML^2 - MO^2$
$ON^2 = MN^2 - MO^2$

Так как наклонные $MK$, $ML$, $MN$ равны, то равны и их проекции: $OK = OL = ON$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$. Поскольку по условию точка $O$ лежит внутри треугольника, она является центром вписанной в него окружности, а расстояние $OK = OL = ON = r$ есть радиус этой окружности.

Найдем радиус $r$ вписанной окружности. Данный треугольник $ABC$ — прямоугольный с $\angle ACB = 90^\circ$. Точка касания вписанной окружности с гипотенузой $AB$ делит ее на отрезки 3 см и 10 см. Длина гипотенузы $c = AB = 3 + 10 = 13$ см.

Пусть $a$ и $b$ — катеты треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, катеты можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и длины отрезков гипотенузы:
$a = 3 + r$
$b = 10 + r$

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(3 + r)^2 + (10 + r)^2 = 13^2$
$9 + 6r + r^2 + 100 + 20r + r^2 = 169$
$2r^2 + 26r + 109 = 169$
$2r^2 + 26r - 60 = 0$
$r^2 + 13r - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.
$r = \frac{-13 \pm 17}{2}$
Так как радиус не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:
$r = \frac{-13 + 17}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь у нас есть все данные для нахождения искомого расстояния $MO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ ($OK=r=2$ см, $MK=2\sqrt{5}$ см) по теореме Пифагора:
$MO^2 + OK^2 = MK^2$
$MO^2 + 2^2 = (2\sqrt{5})^2$
$MO^2 + 4 = 4 \cdot 5$
$MO^2 + 4 = 20$
$MO^2 = 16$
$MO = 4$ см.

Ответ: 4 см.

11.17. Точка M не принадлежит плоскости многоугольника, а её проекцией на плоскость многоугольника является центр окружности, вписанной в многоугольник. Докажите, что точка M равноудалена от сторон данного многоугольника.

Пусть $\alpha$ — плоскость, в которой лежит данный многоугольник. Пусть точка $O$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. По условию, $O$ является центром окружности, вписанной в многоугольник. Из определения проекции следует, что перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\alpha$, есть отрезок $MO$, то есть $MO \perp \alpha$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Нам необходимо доказать, что расстояния от точки $M$ до всех прямых, содержащих стороны многоугольника, равны между собой.

Рассмотрим произвольную сторону многоугольника и прямую $l$, содержащую эту сторону. Пусть $K_i$ — точка касания вписанной окружности с этой стороной. Так как $O$ — центр вписанной окружности, то отрезок $OK_i$ является ее радиусом и перпендикулярен касательной $l$ в точке касания. Таким образом, $OK_i \perp l$. Длина отрезка $OK_i$ равна радиусу вписанной окружности $r$. Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, то расстояния от точки $O$ до всех сторон многоугольника одинаковы и равны $r$.

Рассмотрим отрезок $MK_i$. Этот отрезок является наклонной к плоскости $\alpha$. Отрезок $MO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $OK_i$ — проекция наклонной $MK_i$ на эту плоскость ($MO \perp \alpha$, $M, O, K_i$ образуют плоскость, и $OK_i$ лежит в $\alpha$).

По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Так как проекция $OK_i$ перпендикулярна прямой $l$ ($OK_i \perp l$), то и наклонная $MK_i$ перпендикулярна прямой $l$ ($MK_i \perp l$).

Это означает, что длина отрезка $MK_i$ и есть расстояние от точки $M$ до прямой $l$, содержащей $i$-ю сторону многоугольника.

Теперь найдем длину этого отрезка. Рассмотрим треугольник $\triangle MOK_i$. Так как $MO \perp \alpha$, а отрезок $OK_i$ лежит в плоскости $\alpha$, то $MO \perp OK_i$. Следовательно, треугольник $\triangle MOK_i$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MOK_i$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $MK_i$ равен сумме квадратов катетов $MO$ и $OK_i$:

$MK_i^2 = MO^2 + OK_i^2$

Обозначим расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ как $h$, то есть $MO = h$. Длина отрезка $OK_i$ равна радиусу вписанной окружности $r$. Тогда получаем:

$MK_i^2 = h^2 + r^2$

$MK_i = \sqrt{h^2 + r^2}$

Поскольку это рассуждение верно для любой стороны многоугольника, а величины $h$ (расстояние от точки $M$ до плоскости) и $r$ (радиус вписанной окружности) являются постоянными для данной задачи, то расстояние от точки $M$ до каждой из сторон многоугольника одинаково и равно $\sqrt{h^2 + r^2}$.

Таким образом, доказано, что точка $M$ равноудалена от всех сторон данного многоугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

11.18. Основания равнобокой трапеции равны 16 см и 36 см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, к её плоскости проведён перпендикуляр $MO$. Точка $M$ находится на расстоянии 16 см от плоскости трапеции. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, основания которой равны $a = 16$ см и $b = 36$ см. Так как в трапецию вписана окружность, сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть $c$ — длина боковой стороны. Тогда:

$a + b = 2c$

$16 + 36 = 2c$

$52 = 2c$

$c = 26$ см.

Проведём высоту $h$ в трапеции. В равнобокой трапеции высота, боковая сторона и полуразность оснований образуют прямоугольный треугольник. Длина отрезка большего основания от вершины до основания высоты равна $\frac{b-a}{2}$.

$\frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

По теореме Пифагора найдём высоту $h$:

$h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$). Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен:

$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр вписанной окружности $O$ равноудалён от всех сторон трапеции. Расстояние от центра $O$ до любой из сторон равно радиусу $r = 12$ см. Обозначим это расстояние как $OK$, где $K$ — точка касания на какой-либо стороне. Тогда $OK = 12$ см, и $OK$ перпендикулярен этой стороне.

По условию, из точки $O$ к плоскости трапеции проведён перпендикуляр $MO$, длина которого $MO = 16$ см. Расстояние от точки $M$ до стороны трапеции — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону. Пусть это будет перпендикуляр $MK$.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Так как $MO$ — перпендикуляр к плоскости трапеции, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $OK$. Значит, $\triangle MOK$ — прямоугольный.

По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $OK$ наклонной $MK$ перпендикулярна стороне трапеции, то и сама наклонная $MK$ перпендикулярна этой стороне. Таким образом, $MK$ — искомое расстояние.

Найдём длину $MK$ по теореме Пифагора:

$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудалён от всех сторон трапеции, то и точка $M$ также будет равноудалена от всех её сторон.

Ответ: 20 см.