Номер 12, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 12, страница 110.

Условие.

11.12. Отрезок $MA$ – перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $CD$, если $\angle BAC = 30^\circ$, $AD = 10$ \text{см}, $MA = 5\sqrt{3}$ \text{см}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости ромба $ABCD$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ — это длина перпендикуляра $MH$, опущенного из точки $M$ на прямую $CD$, то есть $MH \perp CD$.

Рассмотрим наклонную $MH$ к плоскости ромба. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к плоскости ромба, а отрезок $AH$ — это проекция наклонной $MH$ на эту плоскость.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой ($CD$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AH$) на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $CD$.

Найдем длину $AH$, работая в плоскости ромба $ABCD$.

1. В ромбе $ABCD$ все стороны равны, следовательно, $AD = AB = CD = 10$ см.

2. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Поэтому $\angle BAD = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

3. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, значит $\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Длина $AH$ — это высота треугольника $\triangle ACD$, опущенная из вершины $A$ на сторону $CD$. Найдем площадь $\triangle ACD$ двумя способами.С одной стороны, по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120^\circ) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

С другой стороны, по формуле площади через основание и высоту:$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH = 5 \cdot AH$.

Приравняем полученные выражения для площади:$5 \cdot AH = 25\sqrt{3}$$AH = \frac{25\sqrt{3}}{5} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем искомое расстояние $MH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAH$. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $AH$. Следовательно, $\triangle MAH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MAH$.

По теореме Пифагора:$MH^2 = MA^2 + AH^2$$MH^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 3) + (25 \cdot 3) = 75 + 75 = 150$.

$MH = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.