Номер 6, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 109.

Условие.

11.6. Отрезок $BD$ – перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ (рис. 11.8). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на прямую $AC$.

Рис. 11.8

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения перпендикуляра из точки $D$ на прямую $AC$ необходимо соединить точки $D$ и $C$. Полученный отрезок $DC$ и будет искомым перпендикуляром. Докажем это утверждение.

1. По условию задачи, отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $BD \perp AC$.

2. Также по условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что катеты $BC$ и $AC$ перпендикулярны, то есть $BC \perp AC$.

3. Таким образом, мы имеем, что прямая $AC$ перпендикулярна двум прямым — $BD$ и $BC$. Эти две прямые пересекаются в точке $B$ и, следовательно, определяют плоскость $DBC$.

4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая (в нашем случае $AC$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BC$) в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости (плоскости $DBC$). Следовательно, $AC \perp (DBC)$.

5. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $DBC$. Отрезок $DC$ целиком лежит в плоскости $DBC$, так как его концы, точки $D$ и $C$, принадлежат этой плоскости.

6. Отсюда следует, что $AC \perp DC$. Это означает, что отрезок $DC$ является перпендикуляром, опущенным из точки $D$ на прямую $AC$.

Таким образом, для построения искомого перпендикуляра достаточно соединить отрезком точки $D$ и $C$.

Ответ: Необходимо соединить точки $D$ и $C$. Отрезок $DC$ является искомым перпендикуляром.