Номер 9, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 9, страница 110.

Условие.

11.9. Прямая MB перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD, MD $ \perp $ AC. Докажите, что четырёхугольник ABCD – ромб.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, $ABCD$ является параллелограммом. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $(ABC)$, что записывается как $MB \perp (ABC)$. Также известно, что прямая $MD$ перпендикулярна диагонали $AC$, то есть $MD \perp AC$.

Рассмотрим прямую $MB$ как перпендикуляр к плоскости $(ABC)$. Прямая $MD$ является наклонной к этой плоскости, а отрезок $BD$ — её проекцией на плоскость $(ABC)$, поскольку $B$ — основание перпендикуляра, а $D$ — точка, принадлежащая наклонной и плоскости.

Воспользуемся обратной теоремой о трёх перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость.

В нашем случае, прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и по условию перпендикулярна наклонной $MD$ ($MD \perp AC$). Следовательно, по этой теореме, прямая $AC$ перпендикулярна и проекции $BD$. Таким образом, мы получаем, что $AC \perp BD$.

Итак, мы установили, что диагонали параллелограмма $ABCD$ взаимно перпендикулярны. Согласно свойству параллелограммов, если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Ответ: Утверждение доказано.