Номер 13, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 110.

Условие.

11.13. Отрезок $DA$ – перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $AB = 14$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, если эта точка удалена от прямой $BC$ на $2\sqrt{43}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $DA$.
Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, $DH \perp BC$, и по условию $DH = 2\sqrt{43}$ см.
Рассмотрим связь между отрезками $DA$, $AH$ и $DH$. $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DH$ — наклонная к этой плоскости, а $AH$ — проекция этой наклонной на плоскость $ABC$.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна той же прямой. Значит, $AH \perp BC$.
Так как $DA$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $AH$. Следовательно, треугольник $DAH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. По теореме Пифагора для $\triangle DAH$: $DA^2 + AH^2 = DH^2$, откуда $DA = \sqrt{DH^2 - AH^2}$.
Для вычисления $DA$ необходимо найти длину $AH$. Отрезок $AH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Поскольку $\angle ABC = 120^\circ$ (тупой), основание высоты $H$ окажется на продолжении стороны $BC$ за точкой $B$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому его величина составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В этом треугольнике гипотенуза $AB = 14$ см.
Длина катета $AH$ равна: $AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 14 \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ см.
Теперь можем вычислить искомую длину $DA$: $DA = \sqrt{DH^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 - (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 \cdot 43 - 49 \cdot 3} = \sqrt{172 - 147} = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.