Страница 112 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.29. Из точки, лежащей вне прямой $m$, проведены к этой прямой наклонные $DK$ и $DB$, образующие с ней углы $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$ соответственно.

Найдите проекцию наклонной $DK$ на прямую $m$, если $DB = 10\sqrt{3}$ см.

Пусть $D$ — точка, лежащая вне прямой $m$. Опустим перпендикуляр $DH$ из точки $D$ на прямую $m$, где $H$ — основание перпендикуляра. Тогда $DK$ и $DB$ — наклонные, проведенные из точки $D$ к прямой $m$, а отрезки $HK$ и $HB$ — это их проекции на прямую $m$ соответственно.

Угол между наклонной и прямой — это угол между этой наклонной и её проекцией на прямую. Согласно условию задачи, угол между наклонной $DK$ и прямой $m$ равен $45^\circ$, следовательно, $\angle DKH = 45^\circ$. Угол между наклонной $DB$ и прямой $m$ равен $60^\circ$, следовательно, $\angle DBH = 60^\circ$. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle DHK$ и $\triangle DHB$, с общим катетом $DH$.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $DHB$ ($\angle DHB = 90^\circ$). В этом треугольнике известна гипотенуза $DB = 10\sqrt{3}$ см и угол $\angle DBH = 60^\circ$. Найдем длину катета $DH$, который является общим для обоих треугольников. Катет $DH$ лежит напротив угла $60^\circ$, поэтому для его нахождения используем синус:
$DH = DB \cdot \sin(\angle DBH)$
$DH = 10\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DHK$ ($\angle DHK = 90^\circ$). Мы ищем длину проекции наклонной $DK$, то есть длину катета $HK$. В этом треугольнике нам известен катет $DH = 15$ см и угол $\angle DKH = 45^\circ$.
Так как треугольник $DHK$ является прямоугольным и один из его острых углов равен $45^\circ$, то он также является равнобедренным, и его катеты равны:
$HK = DH = 15$ см.

Ответ: 15 см.

11.30. Диагонали равнобокой трапеции делят её острые углы пополам, а точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 9 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания ($AD > BC$), а AB и CD — боковые стороны ($AB = CD$). Точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Высота трапеции $h = 9$ см.

По условию, диагональ AC является биссектрисой острого угла DAB, следовательно, $∠DAC = ∠CAB$. Так как основания трапеции параллельны ($AD || BC$), то углы $∠DAC$ и $∠BCA$ являются накрест лежащими при секущей AC, а значит, они равны: $∠DAC = ∠BCA$. Из этих двух равенств получаем, что $∠CAB = ∠BCA$. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, и, следовательно, боковая сторона $AB$ равна меньшему основанию $BC$. Поскольку трапеция ABCD равнобокая ($AB = CD$), то мы приходим к важному выводу: $AB = BC = CD$.

Рассмотрим треугольники $ΔBOC$ и $ΔDOA$. Они подобны, так как их углы соответственно равны: $∠BOC = ∠DOA$ (как вертикальные), $∠OBC = ∠ODA$ и $∠OCB = ∠OAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих BD и AC). Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно, включая отношение оснований трапеции: $\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA}$.

По условию, диагонали делятся точкой пересечения в отношении $5 : 13$. Так как точка O находится ближе к меньшему основанию BC, то $\frac{BO}{OD} = \frac{5}{13}$. Следовательно, и отношение оснований $\frac{BC}{AD} = \frac{5}{13}$.

Обозначим длину меньшего основания $b = BC$ и большего основания $a = AD$. Тогда $b = \frac{5}{13}a$. Как мы установили ранее, длина боковой стороны $CD = BC = b$.

Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобокой трапеции длина отрезка HD, который является проекцией боковой стороны на большее основание, вычисляется по формуле $HD = \frac{a - b}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора, $CD^2 = CH^2 + HD^2$. Подставим в это равенство известные нам выражения и значения: $CD = b$, $CH = h = 9$ см, и $HD = \frac{a - b}{2}$. $b^2 = 9^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$.

Для нахождения $a$ и $b$ решим полученное уравнение, используя соотношение $b = \frac{5}{13}a$: $\left(\frac{5}{13}a\right)^2 = 81 + \left(\frac{a - \frac{5}{13}a}{2}\right)^2$ $\frac{25}{169}a^2 = 81 + \left(\frac{\frac{13a - 5a}{13}}{2}\right)^2$ $\frac{25}{169}a^2 = 81 + \left(\frac{8a}{2 \cdot 13}\right)^2$ $\frac{25}{169}a^2 = 81 + \left(\frac{4a}{13}\right)^2$ $\frac{25}{169}a^2 = 81 + \frac{16a^2}{169}$

Перенесем слагаемое с $a^2$ в левую часть и решим уравнение: $\frac{25}{169}a^2 - \frac{16}{169}a^2 = 81$ $\frac{9}{169}a^2 = 81$ $a^2 = \frac{81 \cdot 169}{9} = 9 \cdot 169$ $a = \sqrt{9 \cdot 169} = 3 \cdot 13 = 39$ см.

Мы нашли длину большего основания: $a = AD = 39$ см. Теперь найдем длину меньшего основания: $b = \frac{5}{13}a = \frac{5}{13} \cdot 39 = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим найденные значения оснований и высоту: $S = \frac{39 + 15}{2} \cdot 9 = \frac{54}{2} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243$ см².

Ответ: $243$ см².