Номер 29, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 29, страница 112.

Условие.

11.29. Из точки, лежащей вне прямой $m$, проведены к этой прямой наклонные $DK$ и $DB$, образующие с ней углы $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$ соответственно.

Найдите проекцию наклонной $DK$ на прямую $m$, если $DB = 10\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $D$ — точка, лежащая вне прямой $m$. Опустим перпендикуляр $DH$ из точки $D$ на прямую $m$, где $H$ — основание перпендикуляра. Тогда $DK$ и $DB$ — наклонные, проведенные из точки $D$ к прямой $m$, а отрезки $HK$ и $HB$ — это их проекции на прямую $m$ соответственно.

Угол между наклонной и прямой — это угол между этой наклонной и её проекцией на прямую. Согласно условию задачи, угол между наклонной $DK$ и прямой $m$ равен $45^\circ$, следовательно, $\angle DKH = 45^\circ$. Угол между наклонной $DB$ и прямой $m$ равен $60^\circ$, следовательно, $\angle DBH = 60^\circ$. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle DHK$ и $\triangle DHB$, с общим катетом $DH$.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $DHB$ ($\angle DHB = 90^\circ$). В этом треугольнике известна гипотенуза $DB = 10\sqrt{3}$ см и угол $\angle DBH = 60^\circ$. Найдем длину катета $DH$, который является общим для обоих треугольников. Катет $DH$ лежит напротив угла $60^\circ$, поэтому для его нахождения используем синус:
$DH = DB \cdot \sin(\angle DBH)$
$DH = 10\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DHK$ ($\angle DHK = 90^\circ$). Мы ищем длину проекции наклонной $DK$, то есть длину катета $HK$. В этом треугольнике нам известен катет $DH = 15$ см и угол $\angle DKH = 45^\circ$.
Так как треугольник $DHK$ является прямоугольным и один из его острых углов равен $45^\circ$, то он также является равнобедренным, и его катеты равны:
$HK = DH = 15$ см.

Ответ: 15 см.