Номер 26, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 26, страница 111.

Условие.

11.26. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ удалена от плоскости $\alpha$ на 5 см. Проекции отрезков $AB$ и $BC$ на плоскость $\alpha$ равны соответственно 12 см и 15 см, $AC = 9$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — это ортогональная проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ составляет 5 см. Это означает, что длина перпендикуляра $BH$ равна 5 см.

Сторона $AC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Проекциями наклонных $AB$ и $BC$ на плоскость $\alpha$ являются отрезки $AH$ и $CH$ соответственно. Из условия задачи известны их длины: $AH = 12$ см и $CH = 15$ см.

Поскольку $BH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание $H$. Следовательно, $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $H$.

Применим теорему Пифагора для нахождения длин сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$AB = \sqrt{169} = 13$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$:
$BC^2 = CH^2 + BH^2$
$BC^2 = 15^2 + 5^2 = 225 + 25 = 250$
$BC = \sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$ см.

Теперь мы знаем длины всех трех сторон треугольника $ABC$: $AC = 9$ см (дано), $AB = 13$ см, $BC = 5\sqrt{10}$ см.

Чтобы найти площадь треугольника, проверим, является ли он прямоугольным, применив обратную теорему Пифагора. Для этого сравним квадрат самой длинной стороны ($BC$) с суммой квадратов двух других сторон ($AB$ и $AC$).

$AB^2 = 13^2 = 169$
$AC^2 = 9^2 = 81$
$BC^2 = (5\sqrt{10})^2 = 25 \cdot 10 = 250$

Проверим равенство $AB^2 + AC^2 = BC^2$:
$169 + 81 = 250$
$250 = 250$

Равенство выполняется, следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный, с гипотенузой $BC$ и катетами $AB$ и $AC$. Прямой угол — $\angle BAC$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 9 = \frac{117}{2} = 58,5$ см².

Ответ: $58,5$ см².