Номер 28, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 28, страница 111.

Условие.

11.28. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $4\sqrt{2}$ см. Ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки $M$ и $N$ – середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми $SM$ и $CN$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$, осью $Oz$ направленной вдоль ребра $SC$, и плоскостью $Oxy$, в которой лежит основание $ABC$.

Поскольку ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и $SC = 2$ см, координаты точек $C$ и $S$ будут $C(0, 0, 0)$ и $S(0, 0, 2)$.

Основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a = 4\sqrt{2}$ см. Расположим вершину $B$ на оси $Ox$. Тогда ее координаты $B(4\sqrt{2}, 0, 0)$. Координаты вершины $A(x, y, 0)$ найдем из условий $AC = a$ и $AB = a$:
$AC^2 = x^2 + y^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$
$AB^2 = (x - 4\sqrt{2})^2 + y^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$
Раскрывая второе уравнение и подставляя в него первое, получаем $32 - 8\sqrt{2}x + 32 = 32$, откуда $x = 2\sqrt{2}$. Тогда $y^2 = 32 - (2\sqrt{2})^2 = 24$, и $y = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. Таким образом, $A(2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 0)$.

Точка $M$ — середина ребра $BC$, ее координаты: $M\left(\frac{0+4\sqrt{2}}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2\sqrt{2}, 0, 0)$.
Точка $N$ — середина ребра $AB$, ее координаты: $N\left(\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}, \frac{2\sqrt{6}+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)$.

Теперь найдем направляющие векторы скрещивающихся прямых $SM$ и $CN$.
Для прямой $SM$: $\vec{v_1} = \vec{SM} = \{2\sqrt{2}-0, 0-0, 0-2\} = \{2\sqrt{2}, 0, -2\}$.
Для прямой $CN$: $\vec{v_2} = \vec{CN} = \{3\sqrt{2}-0, \sqrt{6}-0, 0-0\} = \{3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0\}$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле смешанного произведения:$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$.
Возьмем точки $S(0, 0, 2)$ на прямой $SM$ и $C(0, 0, 0)$ на прямой $CN$. Тогда вектор, соединяющий их, $\vec{P_1P_2} = \vec{CS} = \{0, 0, 2\}$.

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2\sqrt{2} & 0 & -2 \\ 3\sqrt{2} & \sqrt{6} & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - (-2)\sqrt{6}) - \mathbf{j}(0 - (-2)3\sqrt{2}) + \mathbf{k}(2\sqrt{2}\sqrt{6} - 0) = \{2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3}\}$.

Модуль этого вектора:
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (-6\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{24 + 72 + 48} = \sqrt{144} = 12$.

Смешанное произведение в числителе:
$\vec{CS} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = \{0, 0, 2\} \cdot \{2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3}\} = 0 \cdot 2\sqrt{6} + 0 \cdot (-6\sqrt{2}) + 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Искомое расстояние:
$d = \frac{|8\sqrt{3}|}{12} = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.