Номер 4, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 114.

Условие.

12.4. Из точки A к плоскости $\alpha$ проведена наклонная. Чему равен угол между этой наклонной и плоскостью $\alpha$, если расстояние от точки A до плоскости $\alpha$:

1) равно проекции наклонной на плоскость $\alpha$;

2) в два раза меньше самой наклонной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонная $AB$ и перпендикуляр $AH$, где $B$ и $H$ — точки на плоскости $\alpha$. Тогда $AH$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, $HB$ — это проекция наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а $AB$ — сама наклонная. Угол между наклонной и плоскостью по определению равен углу между наклонной и её проекцией на эту плоскость, то есть углу $\angle ABH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ (так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости, то $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• $AH$ — катет, противолежащий углу $\angle ABH$.
• $HB$ — катет, прилежащий к углу $\angle ABH$.
• $AB$ — гипотенуза.

1)

По условию, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно проекции наклонной на эту плоскость. Это означает, что длина перпендикуляра $AH$ равна длине проекции $HB$.
$AH = HB$

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ тангенс угла $\angle ABH$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\text{tg}(\angle ABH) = \frac{AH}{HB}$

Поскольку $AH = HB$, получаем:
$\text{tg}(\angle ABH) = \frac{AH}{AH} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$. Таким образом, искомый угол равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2)

По условию, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ в два раза меньше самой наклонной. Это означает, что длина перпендикуляра $AH$ в два раза меньше длины наклонной $AB$.
$AH = \frac{1}{2} AB$

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ синус угла $\angle ABH$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Подставляя условие задачи в формулу, получаем:
$\sin(\angle ABH) = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$. Таким образом, искомый угол равен $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.