Номер 6, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 115.

Условие.

12.6. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$ (рис. 12.6).$AB = AM = 6 \text{ см}$, $AC = 2\sqrt{3} \text{ см}$. Найдите угол, который образует с плоскостью $ABC$ прямая:

1) $MB$;

2) $MC$.

Рис. 12.6

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Поскольку прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$ ($MA \perp (ABC)$), то отрезок $MA$ является перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на плоскость $ABC$. Точка $A$ — основание этого перпендикуляра.

1) MB

Для наклонной $MB$ её проекцией на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$. Следовательно, искомый угол — это угол между наклонной $MB$ и её проекцией $AB$, то есть угол $\angle MBA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAB$. Так как $MA \perp (ABC)$, то прямая $MA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$. Это означает, что $\triangle MAB$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle MAB = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны длины катетов: $AM = 6$ см и $AB = 6$ см (по условию).

Мы можем найти тангенс угла $\angle MBA$:

$\tan(\angle MBA) = \frac{AM}{AB} = \frac{6}{6} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle MBA = 45^\circ$.

Также можно заметить, что так как катеты $AM$ и $AB$ равны, $\triangle MAB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, а углы при его гипотенузе равны $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

2) MC

Для наклонной $MC$ её проекцией на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Следовательно, искомый угол — это угол между наклонной $MC$ и её проекцией $AC$, то есть угол $\angle MCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAC$. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA \perp AC$. Это означает, что $\triangle MAC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle MAC = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны длины катетов: $AM = 6$ см и $AC = 2\sqrt{3}$ см (по условию).

Найдем тангенс угла $\angle MCA$:

$\tan(\angle MCA) = \frac{AM}{AC} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\tan(\angle MCA) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle MCA = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.