Номер 7, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 115.

Условие.

12.7. Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$ (рис. 12.7), сторона которого равна 6 см. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите угол между прямой $MO$ и плоскостью $ABC$, если $MA = 2$ см.

Рис. 12.5

Рис. 12.6

Рис. 12.7

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

По условию задачи, прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что отрезок $AO$ является проекцией наклонной $MO$ на плоскость $ABC$. Следовательно, искомый угол — это угол между прямой $MO$ и её проекцией $AO$, то есть угол $∠MOA$.

Рассмотрим треугольник $MAO$. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Значит, $MA \perp AO$. Таким образом, треугольник $MAO$ — прямоугольный, с прямым углом $∠MAO = 90°$.

Для нахождения угла $∠MOA$ нам нужно знать длины катетов $MA$ и $AO$. Длина $MA$ дана по условию: $MA = 2$ см.

Найдем длину катета $AO$. Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$. В правильном треугольнике центр совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот, а также является центром вписанной и описанной окружностей. Отрезок $AO$ является радиусом $R$ описанной около треугольника $ABC$ окружности. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ или $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

По условию, сторона треугольника $a = 6$ см. Найдем $AO$:
$AO = R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $MAO$ мы знаем длины обоих катетов: $MA = 2$ см и $AO = 2\sqrt{3}$ см. Найдем тангенс угла $∠MOA$ как отношение противолежащего катета к прилежащему:$\text{tg}(∠MOA) = \frac{MA}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, — это $30°$.
Следовательно, $∠MOA = 30°$.

Ответ: $30°$.