Номер 1, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 114.

Условие.

Что называют углом между прямой и плоскостью?

Решение 1.

Решение 3.

Определение
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость.

Построение угла
Чтобы найти угол между прямой a и плоскостью α, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти точку пересечения прямой a и плоскости α, назовем её A.
2. Взять на прямой a любую точку M, не совпадающую с A.
3. Опустить из точки M перпендикуляр MH на плоскость α, где H — основание перпендикуляра.
4. Прямая AH, проходящая через точки A и H, является проекцией прямой a на плоскость α.
5. Искомый угол φ — это угол между прямой a (представленной наклонной AM) и её проекцией AH. Таким образом, φ = ∠MAH. Этот угол является острым углом в прямоугольном треугольнике AMH.

Частные случаи
В зависимости от взаимного расположения прямой и плоскости, угол определяется следующим образом:
• Если прямая параллельна плоскости (a || α) или лежит в плоскости (a ⊂ α), то угол между ними считается равным $0^\circ$.
• Если прямая перпендикулярна плоскости (a ⊥ α), то угол между ними по определению равен $90^\circ$.

Свойства угла
Угол φ между прямой и плоскостью всегда находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно: $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$. Этот угол является наименьшим из углов между данной прямой и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

Нахождение через векторы
В аналитической геометрии, если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$ (её вектор нормали $\vec{n} = \{A; B; C\}$) и прямая задана направляющим вектором $\vec{s} = \{l; m; p\}$, то синус угла $\phi$ между ними вычисляется по формуле:
$\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|A \cdot l + B \cdot m + C \cdot p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{l^2 + m^2 + p^2}}$
Эта формула основана на том, что угол $\phi$ между прямой и плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол $\theta$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости ($\phi + \theta = 90^\circ$), а $\sin \phi = \cos \theta$.

Ответ: Углом между прямой и плоскостью называется острый угол, образованный этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Его значение лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.