Номер 2, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 114.

Условие.

12.2. Из точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, образующая с данной плоскостью угол $50^\circ$. Чему равен угол между данной наклонной и перпендикуляром?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

12.2.

Пусть из точки A, не принадлежащей плоскости $\alpha$, проведены перпендикуляр AH и наклонная AM к этой плоскости, где H и M — точки на плоскости $\alpha$.

Отрезок AH — это перпендикуляр, опущенный из точки A на плоскость $\alpha$.
Отрезок AM — это наклонная, проведенная из точки A к плоскости $\alpha$.
Отрезок HM, лежащий в плоскости $\alpha$, является проекцией наклонной AM на эту плоскость.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. По условию задачи, этот угол равен $50^\circ$. Таким образом, $\angle AMH = 50^\circ$.

По определению перпендикуляра к плоскости, прямая AH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Следовательно, она перпендикулярна и прямой HM. Это означает, что треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине H, то есть $\angle AHM = 90^\circ$.

Нам необходимо найти угол между наклонной AM и перпендикуляром AH, то есть $\angle MAH$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $\triangle AHM$ сумма острых углов равна $90^\circ$:
$\angle MAH + \angle AMH = 90^\circ$

Подставим известное значение угла $\angle AMH$:
$\angle MAH + 50^\circ = 90^\circ$

Выразим искомый угол $\angle MAH$:
$\angle MAH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

Ответ: $40^\circ$.