Номер 1, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 114.

Условие.

12.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $O$ — центр грани $ABCD$ (рис. 12.5).

Укажите угол между:

1) прямой $AB_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

2) прямой $AC_1$ и плоскостью $ABC$;

3) прямой $AC_1$ и плоскостью $CDD_1$;

4) прямой $OA_1$ и плоскостью $ABC$;

5) прямой $AC$ и плоскостью $ADD_1$.

Рис. 12.5

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью необходимо найти угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

1) прямой $AB_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$

Плоскость $A_1B_1C_1$ является плоскостью верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Точка $B_1$ принадлежит этой плоскости. Для нахождения проекции прямой $AB_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$, найдем проекцию точки $A$ на эту плоскость. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$. Значит, точка $A_1$ является проекцией точки $A$ на плоскость $A_1B_1C_1$.

Следовательно, проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$ является прямая $A_1B_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и её проекцией $A_1B_1$, то есть угол $\angle AB_1A_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AA_1B_1$. Он прямоугольный, так как $AA_1 \perp A_1B_1$. Катеты $AA_1$ и $A_1B_1$ равны как рёбра куба. Таким образом, $\triangle AA_1B_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны $45^\circ$.

Ответ: $\angle AB_1A_1$.

2) прямой $AC_1$ и плоскостью $ABC$

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижней грани куба $ABCD$. Точка $A$ принадлежит этой плоскости. Найдем проекцию точки $C_1$ на плоскость $ABC$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому точка $C$ является проекцией точки $C_1$ на эту плоскость.

Проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $AC$. Искомый угол — это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией $AC$, то есть угол $\angle C_1AC$.

Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ACC_1$ (прямой угол при вершине $C$).

Ответ: $\angle C_1AC$.

3) прямой $AC_1$ и плоскостью $CDD_1$

Плоскость $CDD_1$ является плоскостью правой грани куба $CDD_1C_1$. Точка $C_1$ принадлежит этой плоскости. Найдем проекцию точки $A$ на плоскость $CDD_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $CD$ (как стороны квадрата) и ребру $DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости $ABCD$). Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $CDD_1$, и точка $D$ является проекцией точки $A$ на эту плоскость.

Проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $CDD_1$ является прямая $DC_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией $DC_1$, то есть угол $\angle AC_1D$.

Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ADC_1$ (прямой угол при вершине $D$).

Ответ: $\angle AC_1D$.

4) прямой $OA_1$ и плоскостью $ABC$

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижней грани $ABCD$, а точка $O$ — центр этой грани. Точка $O$ принадлежит плоскости $ABC$. Найдем проекцию точки $A_1$ на эту плоскость. Ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости $ABC$, поэтому точка $A$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABC$.

Проекцией прямой $OA_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $OA$. Искомый угол — это угол между прямой $OA_1$ и её проекцией $OA$, то есть угол $\angle A_1OA$.

Этот угол можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AO$ (прямой угол при вершине $A$).

Ответ: $\angle A_1OA$.

5) прямой $AC$ и плоскостью $ADD_1$

Плоскость $ADD_1$ является плоскостью левой грани куба $ADD_1A_1$. Точка $A$ принадлежит этой плоскости. Найдем проекцию точки $C$ на плоскость $ADD_1$. Ребро $CD$ перпендикулярно ребру $AD$ (как стороны квадрата). Также $CD$ параллельно $AB$, а $AB$ перпендикулярно плоскости $ADD_1A_1$. Следовательно, ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $ADD_1$, и точка $D$ является проекцией точки $C$ на эту плоскость.

Проекцией прямой $AC$ на плоскость $ADD_1$ является прямая $AD$. Искомый угол — это угол между прямой $AC$ и её проекцией $AD$, то есть угол $\angle CAD$.

Этот угол является углом в основании куба, в треугольнике $\triangle ADC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\triangle ADC$ — прямоугольный ($\angle D = 90^\circ$) и равнобедренный ($AD=CD$). Следовательно, $\angle CAD = 45^\circ$.

Ответ: $\angle CAD$.