Номер 11, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 115.

Условие.

12.11. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ провели перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$, образующие с плоскостью соответственно углы $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите отрезок $AB$, если $AC = 4\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к плоскости $\alpha$, а $AB$ и $AC$ — наклонные. Тогда отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между самой наклонной и ее проекцией на эту плоскость. По условию, угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$, то есть $\angle ABH = 45^\circ$. Угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$, то есть $\angle ACH = 60^\circ$.

Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, треугольники $\triangle AHC$ и $\triangle AHB$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $H$). Длина перпендикуляра $AH$ является общей для обоих треугольников.

1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. В нем известны гипотенуза $AC = 4\sqrt{3}$ см и угол $\angle ACH = 60^\circ$. Найдем длину катета $AH$. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

Выразим отсюда $AH$:

$AH = AC \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$. В нем известен катет $AH = 6$ см и угол $\angle ABH = 45^\circ$. Нам нужно найти гипотенузу $AB$. Аналогично, используем определение синуса:

$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Выразим отсюда искомую длину $AB$:

$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$AB = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.