Номер 23, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 23, страница 111.

Условие.

11.23. Ребро $DA$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 11.10), $AC = AD$, $\angle ACB = 90^\circ$, точка $M$ — середина ребра $BD$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $CD$.

Рис. 11.10

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение

Поскольку все ребра тетраэдра $DABC$ равны $a$, данный тетраэдр является правильным. Это значит, что его основание, треугольник $ABC$, является равносторонним. По условию, $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, следовательно, $DO$ — высота тетраэдра. В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины, падает в центр противоположной грани. Таким образом, точка $O$ является центром треугольника $ABC$ — точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Секущая плоскость проходит через прямую $DO$ и середину ребра $AB$. Обозначим середину ребра $AB$ точкой $K$.

Рассмотрим расположение точек в плоскости основания $ABC$. Отрезок $CK$ соединяет вершину $C$ с серединой стороны $AB$, значит, $CK$ является медианой треугольника $ABC$. Так как точка $O$ — центр треугольника (точка пересечения медиан), то она лежит на отрезке $CK$.

Отсюда следует, что точки $C$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой.

Секущая плоскость содержит прямую $DO$ (а значит, точки $D$ и $O$) и точку $K$. Поскольку точки $O$ и $K$ принадлежат секущей плоскости, то и вся прямая $CK$, содержащая эти точки, принадлежит этой плоскости. Следовательно, точка $C$ также принадлежит секущей плоскости.

Таким образом, искомая плоскость сечения проходит через три точки: $D$, $C$ и $K$. Эти точки являются вершинами сечения. Соединив их, получаем треугольник $DCK$. Отрезок $DC$ является ребром тетраэдра, отрезок $CK$ лежит в грани $ABC$, а отрезок $DK$ — в грани $DAB$.

Следовательно, для построения сечения достаточно найти середину $K$ ребра $AB$ и соединить ее с вершинами $D$ и $C$. Полученный треугольник $DCK$ и будет искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $DCK$, где $K$ — середина ребра $AB$.