Номер 21, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Теорема о трёх перпендикулярах. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 21, страница 111.

Условие.

11.21. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно воспользоваться двумя способами: геометрическим и координатно-векторным.

Геометрический способ

Этот способ основан на свойстве перпендикулярности прямой и плоскости. Утверждается, что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

1. Рассмотрим диагональ $B_1D_1$ верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $B_1D_1 \perp A_1C_1$.

2. Рассмотрим боковое ребро $AA_1$. Оно перпендикулярно всей плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, так как это куб. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $B_1D_1$. Таким образом, $AA_1 \perp B_1D_1$.

3. Прямые $A_1C_1$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A_1$ и обе лежат в плоскости диагонального сечения $AA_1C_1C$.

Из пунктов 1 и 2 мы имеем, что прямая $B_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $AA_1$) из плоскости $AA_1C_1C$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $B_1D_1$ перпендикулярна всей плоскости $AA_1C_1C$.

Прямая $A_1C$ является диагональю этого сечения и, следовательно, полностью лежит в плоскости $AA_1C_1C$.

Поскольку прямая $B_1D_1$ перпендикулярна плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна и прямой $A_1C$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ равен $90^\circ$.

Координатно-векторный способ

Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ куба совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$, а ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Примем длину ребра куба равной $a$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:

$D(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$.

Тогда координаты интересующих нас точек для построения векторов будут:

$A_1(a, 0, a)$, $C(0, a, 0)$, $B_1(a, a, a)$, $D_1(0, 0, a)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $A_1C$ и $B_1D_1$.

Для прямой $A_1C$ направляющим вектором будет вектор $\vec{A_1C}$:

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (0 - a, a - 0, 0 - a) = (-a, a, -a)$.

Для прямой $B_1D_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{B_1D_1}$:

$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0 - a, 0 - a, a - a) = (-a, -a, 0)$.

Угол $\varphi$ между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти через скалярное произведение векторов:

$\cos(\varphi) = \frac{\vec{A_1C} \cdot \vec{B_1D_1}}{|\vec{A_1C}| \cdot |\vec{B_1D_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов в числителе:

$\vec{A_1C} \cdot \vec{B_1D_1} = (-a)(-a) + (a)(-a) + (-a)(0) = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые, для которых эти векторы являются направляющими, также перпендикулярны.

$\cos(\varphi) = 0$, откуда $\varphi = 90^\circ$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $90^\circ$