Страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.1. На рисунке 10.9 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость:

1) $ABC$; 2) $BB_1C$; 3) $AA_1B_1$.

Рис. 10.9

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость. Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то ее проекция совпадает с самой точкой.

1) $ABC$;

Найдём проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость нижнего основания $ABC$.

• Проекция точки $D$: так как точка $D$ лежит в плоскости $ABC$, её проекция на эту плоскость есть сама точка $D$.
• Проекция точки $C_1$: ребро $C_1C$ куба перпендикулярно плоскости $ABC$. Следовательно, проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является точка $C$.

Соединив проекции концов, получаем отрезок $CD$.

Ответ: $CD$.

2) $BB_1C$;

Найдём проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость боковой грани $BB_1C$ (эта плоскость также обозначается как $BB_1C_1$).

• Проекция точки $C_1$: так как точка $C_1$ лежит в плоскости $BB_1C_1$, её проекция на эту плоскость есть сама точка $C_1$.
• Проекция точки $D$: ребро $DC$ куба перпендикулярно плоскости $BB_1C_1C$ (поскольку $DC \perp BC$ и $DC \perp CC_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BB_1C$ является точка $C$.

Соединив проекции концов, получаем отрезок $C_1C$.

Ответ: $C_1C$.

3) $AA_1B_1$;

Найдём проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость боковой грани $AA_1B_1$ (эта плоскость также обозначается как $AA_1B_1B$).

• Проекция точки $C_1$: ребро $C_1B_1$ куба перпендикулярно плоскости $AA_1B_1B$ (поскольку $C_1B_1 \perp A_1B_1$ и $C_1B_1 \perp B_1B$). Следовательно, проекцией точки $C_1$ на плоскость $AA_1B_1$ является точка $B_1$.
• Проекция точки $D$: ребро $DA$ куба перпендикулярно плоскости $AA_1B_1B$ (поскольку $DA \perp AB$ и $DA \perp AA_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $AA_1B_1$ является точка $A$.

Соединив проекции концов, получаем отрезок $B_1A$.

Ответ: $B_1A$.

10.2. На рисунке 10.10 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость:

1) $A_1B_1C_1$; 2) $CDD_1$; 3) $AA_1D_1$.

Для нахождения проекции отрезка на плоскость необходимо найти проекции его концов на эту плоскость и соединить их. Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка лежит в плоскости, то ее проекция совпадает с самой точкой.

1) $A_1B_1C_1$

Найдем проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$.

- Проекция точки $D$: Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Следовательно, точка $D_1$ является ортогональной проекцией точки $D$ на плоскость $A_1B_1C_1$.

- Проекция точки $B_1$: Точка $B_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$, поэтому ее проекцией на эту плоскость является сама точка $B_1$.

Соединив проекции концов отрезка $DB_1$, получаем отрезок $D_1B_1$.

Ответ: $D_1B_1$.

2) $CDD_1$

Найдем проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1$.

- Проекция точки $D$: Точка $D$ принадлежит плоскости $CDD_1$, значит, ее проекция совпадает с ней самой.

- Проекция точки $B_1$: В прямоугольном параллелепипеде ребро $B_1C_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $CDD_1$: $B_1C_1 \perp C_1D_1$ (так как грань $A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольник) и $B_1C_1 \perp CC_1$ (так как грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник). Следовательно, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно всей плоскости $CDD_1$, а точка $C_1$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на эту плоскость.

Соединив проекции, получаем отрезок $DC_1$.

Ответ: $DC_1$.

3) $AA_1D_1$

Найдем проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость боковой грани $AA_1D_1$.

- Проекция точки $D$: Точка $D$ принадлежит плоскости $AA_1D_1$, поэтому ее проекция — это сама точка $D$.

- Проекция точки $B_1$: Ребро $A_1B_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1D_1$: $A_1B_1 \perp A_1D_1$ (так как грань $A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольник) и $A_1B_1 \perp AA_1$ (так как грань $AA_1B_1B$ — прямоугольник). Таким образом, ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $AA_1D_1$, и точка $A_1$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на эту плоскость.

Соединив проекции, получаем отрезок $DA_1$.

Ответ: $DA_1$.

10.3. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 12 см и наклонная длиной 13 см. Найдите проекцию этой наклонной на данную плоскость.

Пусть из точки A к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. По условию, длина перпендикуляра $AH = 12$ см, а длина наклонной $AB = 13$ см.

Проекцией наклонной AB на плоскость $\alpha$ является отрезок HB, который соединяет основание перпендикуляра (точка H) и основание наклонной (точка B).

Отрезки AH, HB и AB образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором $\angle AHB = 90^\circ$ (поскольку AH перпендикулярен плоскости $\alpha$ и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку H). В этом треугольнике:
– $AH$ — катет (длина перпендикуляра),
– $AB$ — гипотенуза (длина наклонной),
– $HB$ — второй катет (длина проекции).

Для нахождения длины катета HB воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Выразим из формулы квадрат длины проекции $HB^2$:
$HB^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим известные значения и произведем вычисления:
$HB^2 = 13^2 - 12^2$
$HB^2 = 169 - 144$
$HB^2 = 25$

Теперь найдем длину проекции HB, извлекая квадратный корень:
$HB = \sqrt{25}$
$HB = 5$ см.

Ответ: 5 см.

10.4. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр и наклонная длиной $\sqrt{7}$ см. Проекция данной наклонной на плоскость равна $\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $AH$ и наклонная $AB$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $AH$. Отрезок $HB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Отрезки $AH$ (перпендикуляр), $AB$ (наклонная) и $HB$ (проекция) образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором угол $\angle AHB = 90^{\circ}$. В этом треугольнике:
- гипотенуза $AB$ (наклонная) по условию равна $\sqrt{7}$ см;
- катет $HB$ (проекция) по условию равен $\sqrt{3}$ см;
- катет $AH$ (расстояние от точки до плоскости) — искомая величина.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Подставим известные значения в формулу:
$(\sqrt{7})^2 = AH^2 + (\sqrt{3})^2$
$7 = AH^2 + 3$

Теперь найдем квадрат длины перпендикуляра $AH$:
$AH^2 = 7 - 3$
$AH^2 = 4$

Длина перпендикуляра $AH$ равна квадратному корню из 4:
$AH = \sqrt{4} = 2$ см.

Следовательно, искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 2 см.

Ответ: 2 см.

10.5. Из точки $A$ проведены к плоскости $\alpha$ перпендикуляр $AC$ и наклонные $AB$ и $AD$ (рис. 10.11). Найдите проекцию наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$, если $\angle BAC = 45^\circ$, $AB = 8$ см, $AD = 9$ см.

Рис. 10.11

По условию задачи, $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $AB$ и $AD$ — наклонные. Следовательно, отрезок $CD$ является проекцией наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$. Требуется найти длину отрезка $CD$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку $AC$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $C$. Значит, $AC \perp BC$, и треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ известны гипотенуза $AB = 8$ см и угол $\angle BAC = 45^\circ$. Найдем длину катета $AC$, который является общим для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$

Отсюда выразим $AC$:

$AC = AB \cdot \cos(\angle BAC) = 8 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $AC \perp \alpha$, то $AC \perp CD$, и, следовательно, треугольник $\triangle ADC$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны длина гипотенузы $AD = 9$ см и длина катета $AC = 4\sqrt{2}$ см. Найдем длину второго катета $CD$ по теореме Пифагора:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

Выразим $CD^2$:

$CD^2 = AD^2 - AC^2$

Подставим известные значения:

$CD^2 = 9^2 - (4\sqrt{2})^2 = 81 - (16 \cdot 2) = 81 - 32 = 49$

Найдем длину $CD$, извлекая квадратный корень:

$CD = \sqrt{49} = 7$ см.

Таким образом, проекция наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$ равна 7 см.

Ответ: 7 см.

10.6. Из точки M проведены к плоскости $\alpha$ перпендикуляр MH и наклонные MA и MB (рис. 10.12). Найдите наклонную MA, если $BH = 6\sqrt{6}$ см, $MB = 18$ см, $\angle MAH = 60^\circ$.

Рис. 10.11

Рис. 10.12

По условию задачи, $MH$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к плоскости $\alpha$, а $MA$ и $MB$ — наклонные. Из определения перпендикуляра к плоскости следует, что отрезок $MH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через его основание $H$. Следовательно, треугольники $\triangle MHB$ и $\triangle MHA$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$ ($\angle MHB = 90^\circ$ и $\angle MHA = 90^\circ$).

Решение можно разбить на два шага:

1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$. В нем известна длина гипотенузы $MB = 18$ см и катета $BH = 6\sqrt{6}$ см. Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), найдем длину второго катета $MH$, который является расстоянием от точки $M$ до плоскости $\alpha$:

$MB^2 = MH^2 + BH^2$

Выразим $MH^2$:

$MH^2 = MB^2 - BH^2$

Подставим известные значения:

$MH^2 = 18^2 - (6\sqrt{6})^2 = 324 - (36 \cdot 6) = 324 - 216 = 108$

Отсюда находим длину $MH$:

$MH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$. Угол $\angle MAH$ является углом между наклонной $MA$ и ее проекцией $AH$ на плоскость $\alpha$. По условию $\angle MAH = 60^\circ$. Мы уже нашли длину катета $MH = 6\sqrt{3}$ см, который лежит напротив угла $\angle MAH$. Для нахождения длины гипотенузы $MA$ воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MAH) = \frac{MH}{MA}$

Из этой формулы выразим искомую длину $MA$:

$MA = \frac{MH}{\sin(\angle MAH)}$

Подставим известные значения ($MH = 6\sqrt{3}$ см и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$):

$MA = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.