Номер 13, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 104.

Условие.

10.13. На рисунке 10.13 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DD_1$.

Рис. 10.13

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DD_1$ необходимо найти длину их общего перпендикуляра.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Прямая $DD_1$ является боковым ребром куба, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ABCD$, следовательно, $DD_1 \perp AD$.
2. Грань $ABCD$ является квадратом. Смежные стороны квадрата перпендикулярны, поэтому $AB \perp AD$.
3. Мы получили, что отрезок $AD$ перпендикулярен и прямой $AB$, и прямой $DD_1$. Следовательно, $AD$ является общим перпендикуляром для прямых $AB$ и $DD_1$.

Расстояние между прямыми $AB$ и $DD_1$ равно длине их общего перпендикуляра $AD$. По условию, ребро куба равно 2 см, значит, длина $AD$ равна 2 см.

Ответ: 2 см.