Номер 10, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 104.

Условие.

10.10. Расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно 4 см. Прямые $m$ и $n$ скрещивающиеся, $m \subset \alpha$, $n \subset \beta$. Чему равно расстояние между прямыми $m$ и $n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра. Также известно, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.

В условиях задачи даны:

• Две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).
• Расстояние между плоскостями $d(\alpha, \beta) = 4$ см.
• Прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$).
• Прямая $n$ лежит в плоскости $\beta$ ($n \subset \beta$).
• Прямые $m$ и $n$ скрещивающиеся.

Поскольку прямые $m$ и $n$ уже лежат в заданных параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$, расстояние между этими прямыми будет равно расстоянию между плоскостями.

Докажем это. Пусть $d(m, n)$ — это расстояние между прямыми $m$ и $n$. Для любых точек $A$, принадлежащей прямой $m$, и $B$, принадлежащей прямой $n$, выполняется условие $A \in \alpha$ и $B \in \beta$. Расстояние между любыми точками, принадлежащими двум параллельным плоскостям, не может быть меньше расстояния между самими плоскостями. Следовательно, длина любого отрезка $AB$ не меньше, чем $d(\alpha, \beta)$, то есть $|AB| \ge 4$ см. Это означает, что и кратчайшее расстояние между прямыми $m$ и $n$ не может быть меньше 4 см: $d(m, n) \ge 4$ см.

Существует общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым $m$ и $n$. Назовем его $PQ$, где $P \in m$ и $Q \in n$. По определению, $PQ \perp m$ и $PQ \perp n$. Прямая $PQ$ также будет перпендикулярна плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Поскольку $P \in \alpha$ и $Q \in \beta$, то длина отрезка $PQ$ является расстоянием между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми $m$ и $n$ равно расстоянию между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, в которых они лежат.

$d(m, n) = d(\alpha, \beta) = 4$ см.

Ответ: 4 см.