Номер 3, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 94.

Условие.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости — это теорема, которая устанавливает достаточное условие для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости.

Формулировка теоремы:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости.

Это означает, что для проверки перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$ не нужно проверять перпендикулярность прямой $a$ ко всем прямым, лежащим в плоскости $\alpha$. Достаточно проверить это условие лишь для двух прямых, но они обязательно должны пересекаться.

Запишем это условие формально:

Пусть даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Если существуют две прямые $b$ и $c$ такие, что:

1. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

2. Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

3. Прямые $b$ и $c$ пересекаются ($b \cap c = M$).

4. Прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$).

5. Прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ ($a \perp c$).

То из этих условий следует, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Ответ: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.