Страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

1. При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Эти углы попарно являются либо вертикальными (и тогда они равны), либо смежными (и тогда их сумма равна $180^\circ$).

В результате пересечения образуются две пары равных вертикальных углов. Если прямые не перпендикулярны друг другу, то одна пара углов будет острой (то есть меньше $90^\circ$), а другая — тупой (то есть больше $90^\circ$). Если прямые перпендикулярны, все четыре образовавшихся угла будут прямыми (равными $90^\circ$).

Углом между двумя пересекающимися прямыми принято называть величину наименьшего из углов, образованных при их пересечении. Это означает, что угол между прямыми по определению не может быть тупым.

Таким образом, если обозначить угол между двумя пересекающимися прямыми как $\alpha$, то его величина всегда будет находиться в пределах $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$. Например, если при пересечении прямых образовались смежные углы $40^\circ$ и $140^\circ$, то углом между этими прямыми будет считаться угол в $40^\circ$. Если же все углы равны $90^\circ$, то угол между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися прямыми называют градусную меру меньшего из углов, образованных при пересечении этих прямых.

2. Что называют углом между двумя скрещивающимися прямыми?

Скрещивающиеся прямые — это прямые в трехмерном пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными. Поскольку такие прямые не имеют общих точек, понятие угла между ними вводится через построение.

Для определения угла между двумя скрещивающимися прямыми (назовем их a и b) выполняют следующие действия:

1. Выбирают любую произвольную точку в пространстве, например, точку M.

2. Через эту точку M проводят прямую a', которая параллельна прямой a.

3. Через ту же точку M проводят прямую b', которая параллельна прямой b.

В результате этого построения мы получаем две прямые (a' и b'), которые пересекаются в точке M. Угол между этими пересекающимися прямыми и принимается за угол между исходными скрещивающимися прямыми.

Стоит уточнить, что при пересечении двух прямых образуется четыре угла (две пары смежных и вертикальных). Углом между прямыми принято считать меньший из двух смежных углов, то есть острый или прямой угол. Таким образом, величина угла $\alpha$ между скрещивающимися прямыми всегда находится в диапазоне $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$. Величина этого угла не зависит от выбора точки M.

Ответ: Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

3. Какие две прямые в пространстве называют перпендикулярными?

2. Что называют углом между двумя скрещивающимися прямыми?

Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, то есть не лежат в одной плоскости. Углом между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется угол между двумя пересекающимися прямыми a' и b', которые соответственно параллельны прямым a и b.

Для нахождения этого угла необходимо выполнить построение: через произвольную точку пространства M провести прямую a', параллельную a, и прямую b', параллельную b. Угол, образованный пересекающимися в точке M прямыми a' и b', и является углом между скрещивающимися прямыми. Величина этого угла не зависит от выбора точки M. По определению, за угол между прямыми принимают наименьший из образовавшихся углов, поэтому его величина $\phi$ находится в пределах $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$.

Ответ: Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

3. Какие две прямые в пространстве называют перпендикулярными?

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$.

Это определение является общим и применяется для любого взаимного расположения прямых в пространстве. В частности, если прямые пересекаются, то они перпендикулярны, когда образуют прямой угол в точке пересечения. Если прямые скрещиваются, они считаются перпендикулярными, если угол между их параллельными «копиями», проведенными через одну произвольную точку, равен $90^\circ$.

Ответ: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$.

4. Какие два отрезка в пространстве называют перпендикулярными?

Два отрезка в пространстве называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Прямые в пространстве, в свою очередь, называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^{\circ}$.
Это определение справедливо как для пересекающихся, так и для скрещивающихся прямых.
1. Если прямые пересекаются, они перпендикулярны, если в точке пересечения образуют прямые углы.
2. Если прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости и не пересекаются), то угол между ними определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным скрещивающимся прямым. Если этот угол равен $90^{\circ}$, то и скрещивающиеся прямые считаются перпендикулярными.
Таким образом, два отрезка в пространстве могут быть перпендикулярны, даже если они не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Ответ: Два отрезка в пространстве называют перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, перпендикулярны, то есть угол между этими прямыми равен $90^{\circ}$.

8.1. Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку:1) принадлежащую данной прямой;2) не принадлежащую данной прямой?

1) принадлежащую данной прямой

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой ($M \in a$). Через точку $M$ в пространстве можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой $a$.

Рассмотрим плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, перпендикулярной данной прямой, такая плоскость существует и она единственна.

По определению, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Следовательно, любая прямая, которая проходит через точку $M$ и лежит в плоскости $\alpha$, будет перпендикулярна прямой $a$. Так как в плоскости $\alpha$ через точку $M$ можно провести бесконечное множество прямых, то и в пространстве существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку $M$ и перпендикулярных данной прямой $a$.

Ответ: бесконечно много.

2) не принадлежащую данной прямой

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Через точку $M$ и прямую $a$ можно провести плоскость, и притом только одну. Назовем эту плоскость $\beta$.

Задача сводится к планиметрической: в плоскости $\beta$ найти количество прямых, проходящих через точку $M$ и перпендикулярных прямой $a$, которая также лежит в этой плоскости. Из курса планиметрии известно, что из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

Таким образом, в плоскости $\beta$ существует единственная прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $a$. Вне этой плоскости не может быть других таких прямых, так как любая прямая, проходящая через точку $M$ и пересекающая прямую $a$, будет лежать в плоскости $\beta$.

Ответ: одну.

8.2. Дан куб $ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ (рис. 8.8). Найдите угол между прямыми:

1) $CD$ и $BC$;

2) $A{{A}_{1}}$ и ${{C}_{1}}{{D}_{1}};

3) $A{{A}_{1}}$ и ${{D}_{1}}C$;

4) $AC$ и ${{B}_{1}}{{D}_{1}};

5) ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ и $AC$.

Рис. 8.8

1) $CD$ и $BC$

Прямые $CD$ и $BC$ являются смежными ребрами грани $ABCD$. Так как грань $ABCD$ является квадратом, то угол между его смежными сторонами в точке пересечения $C$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) $AA_1$ и $C_1D_1$

Прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ — скрещивающиеся. Поскольку ребро $AA_1$ параллельно ребру $DD_1$ ($AA_1 \parallel DD_1$), угол между прямыми $AA_1$ и $C_1D_1$ равен углу между прямыми $DD_1$ и $C_1D_1$. Прямые $DD_1$ и $C_1D_1$ — это смежные ребра грани-квадрата $CDD_1C_1$, поэтому угол между ними, $\angle C_1D_1D$, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3) $AA_1$ и $D_1C$

Прямые $AA_1$ и $D_1C$ — скрещивающиеся. Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $DD_1$. Искомый угол равен углу между прямыми $DD_1$ и $D_1C$, которые пересекаются в точке $D_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle CD_1D$. Он прямоугольный, так как ребро $CD$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$ и, следовательно, ребру $DD_1$ ($\angle CDD_1 = 90^\circ$). Катеты $CD$ и $DD_1$ равны как ребра куба. Значит, $\triangle CD_1D$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острый угол $\angle CD_1D = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

4) $AC$ и $B_1D_1$

Прямые $AC$ и $B_1D_1$ — скрещивающиеся. Прямая $B_1D_1$ — диагональ верхней грани, а $AC$ — диагональ нижней. Прямая $B_1D_1$ параллельна диагонали $BD$ нижней грани. Следовательно, угол между $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$ квадрата $ABCD$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому искомый угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

5) $A_1C_1$ и $AC$

Прямые $A_1C_1$ и $AC$ являются диагоналями верхней и нижней граней куба соответственно. Так как верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ получена из нижней грани $ABCD$ путем параллельного переноса, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$. Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

8.3. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 8.8). Найдите угол между прямыми:

1) $AB$ и $BB_1$;

2) $AB$ и $B_1D$;

3) $A_1D$ и $BC$;

4) $B_1D_1$ и $C_1C$.

1) $AB$ и $BB_1$

Прямые $AB$ и $BB_1$ — это смежные рёбра куба, которые пересекаются в вершине $B$. Они лежат в одной грани — $ABB_1A_1$. Поскольку все грани куба являются квадратами, угол между смежными сторонами квадрата составляет $90^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $BB_1$ — это угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) $AB$ и $B_1D_1$

Прямые $AB$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным. В кубе ребро $AB$ параллельно ребру $A_1B_1$. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $B_1D_1$.

Прямые $A_1B_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $B_1$ и обе лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1B_1D_1$, образованный в этой грани. Грань $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, поэтому $\angle B_1A_1D_1 = 90^\circ$, а стороны $A_1B_1$ и $A_1D_1$ равны. Таким образом, $\triangle A_1B_1D_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны по $45^\circ$. Искомый угол $\angle A_1B_1D_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

3) $A_1D$ и $B_1C$

Прямые $A_1D$ и $B_1C$ являются диагоналями боковых граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Эти прямые скрещивающиеся. Рассмотрим четырёхугольник $A_1DCB_1$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно и равно ребру $DC$. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, $A_1DCB_1$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому прямая $A_1D$ параллельна прямой $B_1C$. Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

4) $B_1D_1$ и $C_1C$

Прямые $B_1D_1$ (диагональ верхней грани) и $C_1C$ (боковое ребро) являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $C_1C$ на прямую $B_1B$, так как в кубе $C_1C \parallel B_1B$. Тогда искомый угол будет равен углу между прямыми $B_1D_1$ и $B_1B$.

Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости ($A_1B_1$ и $B_1C_1$). Прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $B_1B \perp B_1D_1$. Таким образом, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

8.4. Точка M, не принадлежащая плоскости прямоугольника ABCD, такова, что треугольник CMD равносторонний (рис. 8.9). Найдите угол между прямыми AB и MC.

Рис. 8.9

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся прямым.

По условию задачи, четырехугольник ABCD является прямоугольником. Одним из свойств прямоугольника является параллельность его противоположных сторон. Следовательно, прямая AB параллельна прямой DC ($AB \parallel DC$).

Поскольку прямая AB параллельна прямой DC, угол между скрещивающимися прямыми AB и MC будет равен углу между пересекающимися прямыми DC и MC.

Прямые DC и MC пересекаются в точке C и являются сторонами треугольника CMD. Угол между ними — это угол $\angle MCD$.

По условию, треугольник CMD является равносторонним. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle MCD = 60^\circ$.

Таким образом, искомый угол между прямыми AB и MC равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

8.5. Точка $M$ не принадлежит плоскости квадрата $ABCD$, $\angle MBA = 40^\circ$, $\angle MBC = 90^\circ$. Найдите угол между прямыми: 1) $MB$ и $AD$; 2) $MB$ и $CD$.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Как правило, для нахождения такого угла одну из прямых заменяют параллельной ей прямой, которая пересекает вторую прямую.

1) MB и AD

Прямые $MB$ и $AD$ являются скрещивающимися, так как точка $M$ не лежит в плоскости квадрата $ABCD$, а прямая $AD$ лежит в этой плоскости.

По свойству квадрата, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$.

Это означает, что угол между скрещивающимися прямыми $MB$ и $AD$ равен углу между пересекающимися прямыми $MB$ и $BC$. Прямые $MB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$.

Таким образом, искомый угол равен $\angle MBC$. По условию задачи $\angle MBC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) MB и CD

Прямые $MB$ и $CD$ также являются скрещивающимися.

По свойству квадрата, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $CD \parallel BA$.

Это означает, что угол между скрещивающимися прямыми $MB$ и $CD$ равен углу между пересекающимися прямыми $MB$ и $BA$. Прямые $MB$ и $BA$ пересекаются в точке $B$.

Таким образом, искомый угол равен $\angle MBA$. По условию задачи $\angle MBA = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.