Номер 40, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 40, страница 73.

Условие.

7.40. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 13$ см, $BC = 5\sqrt{2}$ см, $AC = 7$ см.

Найдите угол между прямыми $AC$ и $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения угла между прямыми $AC$ и $BC$ найдем величину угла $\angle C$ в треугольнике $ABC$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов, так как известны длины всех трех сторон треугольника.

Теорема косинусов для треугольника $ABC$ гласит:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$где $a$, $b$, $c$ — стороны, лежащие против углов $A$, $B$ и $C$ соответственно.В нашем случае $a = BC = 5\sqrt{2}$ см, $b = AC = 7$ см, $c = AB = 13$ см.

Запишем теорему косинусов для стороны $AB$:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Выразим из этой формулы $\cos(\angle C)$:$\cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$

Подставим известные значения в формулу:$\cos(\angle C) = \frac{7^2 + (5\sqrt{2})^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:$7^2 = 49$$(5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$13^2 = 169$$2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2} = 70\sqrt{2}$

$\cos(\angle C) = \frac{49 + 50 - 169}{70\sqrt{2}} = \frac{99 - 169}{70\sqrt{2}} = \frac{-70}{70\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы найти угол, косинус которого равен $-\frac{1}{\sqrt{2}}$, можно упростить выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:$\cos(\angle C) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол треугольника может быть в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, в этом диапазоне составляет $135^\circ$.Следовательно, внутренний угол треугольника $\angle C = 135^\circ$.

По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, которые они образуют. Прямые $AC$ и $BC$ образуют два смежных угла: $135^\circ$ и $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.Наименьший из этих углов равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.