Номер 36, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 36, страница 72.

Условие.

7.36. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$. Постройте изображение правильного треугольника:

1) вписанного в данную окружность;

2) описанного около данной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача решается методами начертательной геометрии с использованием свойств параллельного проектирования. При параллельном проектировании окружность изображается в виде эллипса, при этом центр окружности $O$ переходит в центр эллипса $O_1$. Сохраняются следующие свойства:

• Прямые переходят в прямые.
• Параллельность прямых сохраняется.
• Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. В частности, середина отрезка переходит в середину его изображения.
• Касание прямой и кривой сохраняется.

Используя эти свойства, построим изображения правильных треугольников.

1) вписанного в данную окружность;

Для построения изображения правильного треугольника, вписанного в окружность, воспользуемся его геометрическим свойством: если $A$ — одна из вершин треугольника, а $AD$ — диаметр окружности, то сторона $BC$, противолежащая вершине $A$, перпендикулярна диаметру $AD$ и делит пополам радиус $OD$. В свою очередь, прямая, перпендикулярная диаметру, параллельна касательной к окружности в конце этого диаметра.

При параллельном проектировании это свойство сохраняется в следующем виде: изображение хорды $B_1C_1$ будет параллельно изображению касательной в точке $A_1$.

Алгоритм построения:

1. На эллипсе выбираем произвольную точку $A_1$. Это будет изображение одной из вершин треугольника.
2. Проводим через точку $A_1$ и центр эллипса $O_1$ диаметр $A_1D_1$. Это изображение диаметра окружности.
3. Находим точку $M_1$ — середину отрезка $O_1D_1$.
4. Проводим через точку $M_1$ хорду $B_1C_1$ эллипса, параллельную касательной к эллипсу в точке $A_1$.
5. Соединяем точки $A_1, B_1, C_1$. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым изображением правильного треугольника, вписанного в окружность.

Ответ: Изображение вписанного правильного треугольника строится путем выбора одной вершины на эллипсе, проведения через нее диаметра и построения противолежащей стороны как хорды, проходящей через середину "дальнего" радиуса и параллельной касательной в выбранной вершине.

2) описанного около данной окружности.

Для построения изображения правильного треугольника, описанного около окружности, воспользуемся свойством гомотетии. Пусть $ABC$ — правильный треугольник, вписанный в окружность, вершины которого являются точками касания для описанного треугольника $PQR$. Тогда треугольник $PQR$ является образом треугольника $ABC$ при гомотетии с центром в центре окружности $O$ и коэффициентом $k=-2$. Это означает, что вершина $P$ описанного треугольника (противолежащая стороне, касающейся окружности в точке $A$) получается из вершины $A$ вписанного треугольника по правилу $\vec{OP} = -2\vec{OA}$.

Поскольку параллельное проектирование сохраняет гомотетию (как частный случай аффинного преобразования), для построения изображения описанного треугольника можно сначала построить изображение вписанного, а затем применить к его вершинам гомотетию с центром $O_1$ и коэффициентом $-2$.

Алгоритм построения:

1. Сначала строим изображение правильного треугольника $A_1B_1C_1$, вписанного в эллипс, как описано в пункте 1. Его вершины являются изображениями точек касания.
2. Для каждой вершины вписанного треугольника, например $A_1$, проводим прямую через $A_1$ и центр эллипса $O_1$.
3. На этой прямой, по другую сторону от центра $O_1$ относительно точки $A_1$, откладываем точку $P_1$ так, чтобы расстояние $O_1P_1$ было в два раза больше расстояния $O_1A_1$. То есть, строим точку $P_1$ по правилу $\vec{O_1P_1} = -2\vec{O_1A_1}$.
4. Повторяем эту процедуру для вершин $B_1$ и $C_1$, получая точки $P_2$ и $P_3$.
5. Соединяем точки $P_1, P_2, P_3$. Полученный треугольник $P_1P_2P_3$ является искомым изображением правильного треугольника, описанного около окружности.

Ответ: Изображение описанного правильного треугольника строится путем построения изображения вписанного треугольника (из точек касания) и последующего применения к его вершинам гомотетии с центром в центре эллипса и коэффициентом -2.