Номер 35, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 35, страница 72.

Условие.

7.35. Треугольник $A_1 B_1 C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$, отрезок $A_1 B_1$ – изображением его гипотенузы $AB$. Постройте изображение биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$, если $\angle A = 30^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $ABC$ — исходный прямоугольный треугольник, а $A_1B_1C_1$ — его изображение. Так как $A_1B_1$ является изображением гипотенузы $AB$, то прямой угол в треугольнике $ABC$ — это угол $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$.

По условию, $\angle A = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Пусть $BD$ — биссектриса угла $B$. Точка $D$ лежит на катете $AC$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ {AD \over DC} = {AB \over BC} $$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит напротив угла в $30^\circ$, значит, он равен половине гипотенузы $AB$:

$$ BC = {1 \over 2}AB $$

Подставим это соотношение в формулу свойства биссектрисы:

$$ {AD \over DC} = {AB \over {1 \over 2}AB} = 2 $$

Таким образом, точка $D$ делит катет $AC$ в отношении $AD:DC = 2:1$, считая от вершины $A$.

При параллельном проектировании (которое используется для получения изображений в стереометрии) сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Следовательно, изображение точки $D$ — точка $D_1$ — должна делить отрезок $A_1C_1$ в том же отношении: $A_1D_1:D_1C_1 = 2:1$.

Отсюда следует алгоритм построения.

Построение:

1. На отрезке $A_1C_1$ (изображении катета $AC$) необходимо найти точку $D_1$ (изображение точки $D$) такую, что $A_1D_1:D_1C_1 = 2:1$.
2. Для этого из точки $A_1$ проведём произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $A_1C_1$.
3. На луче $l$ отложим от точки $A_1$ три равных отрезка произвольной длины с помощью циркуля: $A_1P_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
4. Соединим точку $P_3$ с точкой $C_1$.
5. Через точку $P_2$ проведём прямую, параллельную отрезку $P_3C_1$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $A_1C_1$ будет искомой точкой $D_1$. По теореме Фалеса, $A_1D_1:D_1C_1 = A_1P_2:P_2P_3 = 2:1$.
6. Соединим точки $B_1$ и $D_1$. Отрезок $B_1D_1$ является искомым изображением биссектрисы угла $B$.

Ответ: Искомое изображение биссектрисы — это отрезок $B_1D_1$, где точка $D_1$ делит отрезок $A_1C_1$ в отношении $A_1D_1:D_1C_1 = 2:1$. Построение точки $D_1$ описано выше.