Номер 28, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 28, страница 71.

Условие.

7.28. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение треугольника $ABC$ (рис. 7.36), отрезки $A_1D_1$ и $C_1E_1$ — изображения соответственно высот $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$. Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Рис. 7.34

Рис. 7.35

Рис. 7.36

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения изображения центра описанной окружности треугольника $ABC$ (обозначим его $O_1$) воспользуемся свойством прямой Эйлера. В любом треугольнике ортоцентр (точка пересечения высот, $H$), центроид (точка пересечения медиан, $M$) и центр описанной окружности ($O$) лежат на одной прямой. При этом центроид делит отрезок, соединяющий ортоцентр и центр описанной окружности, в отношении $2:1$, считая от ортоцентра. То есть, точки расположены на прямой в порядке $H-M-O$ (или $O-M-H$), и выполняется соотношение длин отрезков $HM : MO = 2:1$.

Параллельное проектирование, при котором треугольник $ABC$ отображается в треугольник $A_1B_1C_1$, сохраняет коллинеарность точек (принадлежность точек одной прямой) и отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Следовательно, изображения ортоцентра $H_1$, центроида $M_1$ и центра описанной окружности $O_1$ также будут лежать на одной прямой, и для них будет справедливо соотношение $H_1M_1 : M_1O_1 = 2:1$.

Исходя из этого, алгоритм построения следующий.

Сначала построим изображение ортоцентра $H_1$. Ортоцентр $H$ является точкой пересечения высот $AD$ и $CE$. По условию, их изображения — это отрезки $A_1D_1$ и $C_1E_1$. Поскольку при проектировании точка пересечения прямых переходит в точку пересечения их изображений, то для нахождения $H_1$ достаточно найти точку пересечения прямых, содержащих отрезки $A_1D_1$ и $C_1E_1$.

Затем построим изображение центроида $M_1$. Центроид $M$ является точкой пересечения медиан. Так как параллельное проектирование сохраняет середину отрезка, изображение медианы треугольника является медианой его изображения. Для нахождения $M_1$ построим две медианы треугольника $A_1B_1C_1$. Например, найдем середину $K_1$ стороны $A_1C_1$ и проведем медиану $B_1K_1$. Затем найдем середину $L_1$ стороны $B_1C_1$ и проведем медиану $A_1L_1$. Точка их пересечения и будет искомым изображением центроида $M_1$.

Наконец, имея точки $H_1$ и $M_1$, построим изображение центра описанной окружности $O_1$. Проведем прямую через точки $H_1$ и $M_1$ (это изображение прямой Эйлера). Точка $O_1$ лежит на этой прямой так, что $M_1$ находится между $H_1$ и $O_1$, и $M_1O_1 = \frac{1}{2} H_1M_1$. Для построения точки $O_1$ необходимо отложить от точки $M_1$ на луче $H_1M_1$ (т.е. в сторону от $H_1$) отрезок, равный половине длины отрезка $H_1M_1$.

Ответ: Изображение центра описанной окружности, точка $O_1$, строится как точка на продолжении отрезка $H_1M_1$ за точку $M_1$, такая, что $M_1O_1 = \frac{1}{2}H_1M_1$, где $H_1$ — точка пересечения прямых $A_1D_1$ и $C_1E_1$ (изображение ортоцентра), а $M_1$ — точка пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$ (изображение центроида).