Номер 15, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 15, страница 70.

Условие.

7.15. Параллелограмм $A_1 B_1 C_1 D_1$ является изображением квадрата $ABCD$ (рис. 7.29). Постройте изображение осей симметрии данного квадрата.

Рис. 7.29

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Квадрат $ABCD$ имеет четыре оси симметрии: две прямые, проходящие через середины противоположных сторон, и две диагонали. При параллельном проецировании, которое переводит квадрат $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, свойства фигур сохраняются выборочно. Для построения изображений осей симметрии воспользуемся инвариантными (сохраняющимися) свойствами параллельного проецирования.

Построение изображений осей симметрии, проходящих через середины противоположных сторон

Первая пара осей симметрии квадрата — это прямые, соединяющие середины его противоположных сторон. Ключевым свойством параллельного проецирования является сохранение середины отрезка, то есть изображение середины отрезка является серединой изображения отрезка. На основе этого свойства и выполняется построение.

Построение:

1. Находим точку $M_1$ — середину стороны $A_1B_1$ и точку $N_1$ — середину стороны $D_1C_1$. Проводим прямую $M_1N_1$. Эта прямая, являющаяся средней линией параллелограмма, есть изображение одной из осей симметрии квадрата.

2. Находим точку $P_1$ — середину стороны $B_1C_1$ и точку $Q_1$ — середину стороны $A_1D_1$. Проводим прямую $P_1Q_1$. Эта прямая, вторая средняя линия параллелограмма, является изображением другой оси симметрии квадрата.

Построение изображений осей симметрии, являющихся диагоналями

Вторая пара осей симметрии квадрата — это его диагонали $AC$ и $BD$. Изображением отрезка, соединяющего две точки-вершины, является отрезок, соединяющий изображения этих вершин. Следовательно, изображениями диагоналей квадрата являются диагонали параллелограмма-изображения.

Построение:

1. Проводим диагональ $A_1C_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Она является изображением диагонали $AC$ квадрата.

2. Проводим диагональ $B_1D_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Она является изображением диагонали $BD$ квадрата.

Таким образом, построены изображения всех четырех осей симметрии квадрата. Это две диагонали и две средние линии параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: Изображениями осей симметрии квадрата являются две диагонали данного параллелограмма ($A_1C_1$ и $B_1D_1$) и две его средние линии (прямые, проходящие через середины противоположных сторон $A_1B_1$ и $D_1C_1$, а также $B_1C_1$ и $A_1D_1$).