Номер 8, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 8, страница 69.

Условие.

7.8. Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$, которого соответственно равны:

1) $10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ;$

2) $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Основное свойство параллельного проецирования заключается в том, что оно сохраняет параллельность прямых. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны (основания), а две другие (боковые стороны) — нет. Следовательно, параллельная проекция трапеции, если она не вырождается в отрезок, также является трапецией, так как параллельность оснований сохранится, а непараллельность боковых сторон — тоже.

Признаком трапеции является то, что сумма ее внутренних углов, прилежащих к одной из боковых сторон, равна $180^\circ$.

1)

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого соответственно равны $10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ$. Сумма его углов равна $10^\circ + 40^\circ + 140^\circ + 170^\circ = 360^\circ$, так что такой четырехугольник существует.

Проверим, является ли он трапецией, вычислив суммы углов, прилежащих к каждой стороне:
$\angle A_1 + \angle B_1 = 10^\circ + 40^\circ = 50^\circ \neq 180^\circ$
$\angle B_1 + \angle C_1 = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$
$\angle C_1 + \angle D_1 = 140^\circ + 170^\circ = 310^\circ \neq 180^\circ$
$\angle D_1 + \angle A_1 = 170^\circ + 10^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма углов, прилежащих к сторонам $B_1C_1$ и $A_1D_1$, равна $180^\circ$, это означает, что стороны $A_1B_1$ и $D_1C_1$ параллельны. Так как суммы углов при других двух сторонах не равны $180^\circ$, стороны $B_1C_1$ и $A_1D_1$ не параллельны. Следовательно, данный четырехугольник является трапецией.

Так как параллельная проекция трапеции является трапецией, а данный четырехугольник — трапеция, то он может быть проекцией некоторой трапеции.

Ответ: да, может.

2)

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого соответственно равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$. Сумма его углов равна $50^\circ + 130^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$.

Проверим суммы соседних углов:
$\angle A_1 + \angle B_1 = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ$
$\angle B_1 + \angle C_1 = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$

Из равенства $\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$ следует, что стороны $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны. Из равенства $\angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$ следует, что стороны $A_1B_1$ и $D_1C_1$ параллельны. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Кроме того, у него равны противолежащие углы: $\angle A_1 = \angle C_1 = 50^\circ$ и $\angle B_1 = \angle D_1 = 130^\circ$.

Согласно стандартному определению, принятому в школьном курсе геометрии, трапеция — это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна, а две другие — нет. При таком определении параллелограмм не является трапецией.

Параллельное проектирование (если оно не вырождено, то есть не переводит фигуру в отрезок) сохраняет как параллельность, так и непараллельность прямых. Следовательно, проекцией трапеции (у которой одна пара сторон параллельна, а другая — нет) должен быть четырехугольник, также обладающий этим свойством, то есть трапеция, а не параллелограмм.

Таким образом, данный четырехугольник, являющийся параллелограммом, не может быть параллельной проекцией трапеции.

Ответ: нет, не может.